Ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a√2, SA vuông góc với đáy ABC ,
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Phân tích:
*) Dựng tam giác ABC vuông cân tại B và SA $ \bot $ (ABC).
*) Dựng mặt phẳng qua G và // BC , cho MN //BC . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi định lí gì ?
*) Tính trực tiếp thể tích SAMN quá phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của SAMN và SABC ? Suy ra điều gì ?
ΔABC cân có AC = a√2 → AB = a → ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2} \to {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}$
b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có: $\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}$
(α)//BC → MN// BC → $\begin{array}{l}\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3} \to \frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{9}\\{V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}.{V_{SABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}\end{array}$
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính ${V_{ABCD}}$
b) Chứng minh CE $\bot$(ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Phân tích :
*) Dựng tam giác ABC vuông cân tại A và SC $ \bot $ (ABC)
*) Dựng mặt phẳng qua C và $ \bot $ BD cho thiết diện CEF.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= Bh/3 để tìm B và h của ABCD là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Chứng minh CE vuông góc với 2 đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD)?
*) Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của DCEF và DABC bằng tỉ số các đại lượng hình học trong tam giác vuông nào ?
b)Tacó: AB $\bot$ AC, AB $\bot$ CD → AB $\bot$ (ACD) → AB $\bot$ EC
Ta có: DB $\bot$ EC → EC $\bot$ (ABD)
c) Tính V$_{DCEF}$
Ta có: $\frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{{DE}}{{DA}}.\frac{{DF}}{{DB}}\left( * \right)$
Mà DE.DA = DC$^2$, chia cho DA$^2$ → $\frac{{DE}}{{DA}} = {\left( {\frac{{DC}}{{DA}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2}$
Tương tự: $\frac{{DF}}{{DB}} = {\left( {\frac{{DC}}{{DB}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{D{C^2} + C{B^2}}} = \frac{1}{3}$
Từ(*) $\to \frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{1}{6} \to {V_{DCEF}} = \frac{{{V_{DABC}}}}{6} = \frac{{{a^3}}}{{36}}$
Ví dụ 3. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Phân tích.
*) Dựng tứ giác đều ABCD và SO $ \bot $ (ABCD)
*) Dựng (ABM) // CD để có điểm N ?
*) Dựng BD và BN. Tại sao ?
*) Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*) Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
*) Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?
*) $\frac{{{V_{SAND}}}}{{{V_{SADB}}}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} \to {V_{SANB}} = \frac{1}{2}{V_{SADB}} = \frac{1}{4}{V_{SABCD}}$
*) $\frac{{{V_{SBMN}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} \to {V_{SBMN}} = \frac{1}{4}.{V_{SBCD}} = \frac{1}{8}.{V_{SABCD}}$
Mà ${V_{SABMN}} = {V_{SANB}} + {V_{SBMN}} = \frac{3}{8}{V_{SABCD}} \to {V_{ABMN.ABCD}} = \frac{5}{8}{V_{SABCD}} \to \frac{{{V_{SABMN}}}}{{{V_{ABMN.ABCD}}}} = \frac{3}{5}$
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60$^0$. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
*)Phân tích V = $\frac{1}{3}$Bh để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
*)Tìm h = SO qua tam giác và hệ thức lượng giác nào?
*)Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*)Tính thể tích của SAEMF quá phức tạp thì sao ?Lập tỉ số thể tích của SAEMF và SABCD bằng cách nào ?
*) Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
*) Lập tỉ số thể tích của SAMF với SACD ?
b) ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO$ với S$_{ABCD}$ = a$^2$
ΔSOA có: $SO = AO.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \to {V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$
c) Phân chia chóp tứ giác ta có $\begin{array}{l}{V_{S.AEMF}} = {V_{S.AMF}} + {V_{S.AME}} = 2{V_{S.AMF}}\\{V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ACD}} = 2{V_{S.ABC}}\end{array}$
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có: $\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}$
ΔSAC có trọng tâm I, EF // BD $ \to \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} \to \frac{{{V_{S.AMF}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}$
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a√2. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC $ \bot $ (AB’D’)
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các bài toán nhỏ:
*) Phân tích V = $\frac{1}{3}$Bh để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
*) Chứng minh SC vuông góc 2 đường thẳng nào trong (AB'D') ?
*) Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*) Hãy so sánh thể tích của SABC và SACD với SABCD ?
*) Hãy so sánh thể tích của SAB'C' và SAC'D' với SAB'C'D' ?
*) Lập tỉ số thể tích của SAB'C' với SABC . Suy ra điều gì ?
b) Ta có BC $\bot$ (SAB) → BC → BC$\bot$ AB’ & SB$\bot$ AB’ → AB’ $\bot$ (SBC)
nên AB'$\bot$ SC .Tương tự AD'$\bot$ SC.Vậy SC $\bot$ (AB'D')
c) Tính V$_{S.AB’C’}$: Ta có: $\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\left( * \right)$
ΔSAC vuông cân nên $\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{3{a^2}}} = \frac{2}{3}$
$\begin{array}{l}\left( * \right) \to \frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{3} \to {V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\\{V_{S.AB'C'D'}} = 2{V_{S.AB'C'}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{9}\end{array}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.
Đs: k = 1/4
Bài 2. Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m$^3$ ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB'
2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'.
Đs: V = 2 m$^3$
Bài 3. Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho AB = a/2; AC’ = 2a/3. Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}$
Bài 4. Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m$^3$ .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP.
Đs: V = 1 m$^3$
Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a√3,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{40}}$
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m$^3$ .Lấy A'trên SA sao cho
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'.
Đs: V = 1 m$^3$
Bài 7. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m$^3$, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN .
Đs: V = 4m$^3$
Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và // BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính ${V_{S.AMNP}}$
Đs: $V = \frac{{{a^2}h}}{9}$
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này.
Đs: k = 1/2
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = x$ Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
Đs: $x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Phân tích:
*) Dựng tam giác ABC vuông cân tại B và SA $ \bot $ (ABC).
*) Dựng mặt phẳng qua G và // BC , cho MN //BC . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi định lí gì ?
*) Tính trực tiếp thể tích SAMN quá phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của SAMN và SABC ? Suy ra điều gì ?
Lời giải
a)Ta có: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA$ và SA = aΔABC cân có AC = a√2 → AB = a → ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2} \to {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}$
b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có: $\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}$
(α)//BC → MN// BC → $\begin{array}{l}\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3} \to \frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{9}\\{V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}.{V_{SABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}\end{array}$
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính ${V_{ABCD}}$
b) Chứng minh CE $\bot$(ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Phân tích :
*) Dựng tam giác ABC vuông cân tại A và SC $ \bot $ (ABC)
*) Dựng mặt phẳng qua C và $ \bot $ BD cho thiết diện CEF.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= Bh/3 để tìm B và h của ABCD là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Chứng minh CE vuông góc với 2 đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD)?
*) Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của DCEF và DABC bằng tỉ số các đại lượng hình học trong tam giác vuông nào ?
Lời giải
a)Tính V$_{ABCD}$: ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.CD = \frac{{{a^3}}}{6}$b)Tacó: AB $\bot$ AC, AB $\bot$ CD → AB $\bot$ (ACD) → AB $\bot$ EC
Ta có: DB $\bot$ EC → EC $\bot$ (ABD)
c) Tính V$_{DCEF}$
Ta có: $\frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{{DE}}{{DA}}.\frac{{DF}}{{DB}}\left( * \right)$
Mà DE.DA = DC$^2$, chia cho DA$^2$ → $\frac{{DE}}{{DA}} = {\left( {\frac{{DC}}{{DA}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2}$
Tương tự: $\frac{{DF}}{{DB}} = {\left( {\frac{{DC}}{{DB}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{D{C^2} + C{B^2}}} = \frac{1}{3}$
Từ(*) $\to \frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{1}{6} \to {V_{DCEF}} = \frac{{{V_{DABC}}}}{6} = \frac{{{a^3}}}{{36}}$
Ví dụ 3. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Phân tích.
*) Dựng tứ giác đều ABCD và SO $ \bot $ (ABCD)
*) Dựng (ABM) // CD để có điểm N ?
*) Dựng BD và BN. Tại sao ?
*) Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*) Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
*) Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?
Lời giải
Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).*) $\frac{{{V_{SAND}}}}{{{V_{SADB}}}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} \to {V_{SANB}} = \frac{1}{2}{V_{SADB}} = \frac{1}{4}{V_{SABCD}}$
*) $\frac{{{V_{SBMN}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} \to {V_{SBMN}} = \frac{1}{4}.{V_{SBCD}} = \frac{1}{8}.{V_{SABCD}}$
Mà ${V_{SABMN}} = {V_{SANB}} + {V_{SBMN}} = \frac{3}{8}{V_{SABCD}} \to {V_{ABMN.ABCD}} = \frac{5}{8}{V_{SABCD}} \to \frac{{{V_{SABMN}}}}{{{V_{ABMN.ABCD}}}} = \frac{3}{5}$
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60$^0$. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Phân tích:
*)Xác định góc giữa SA và ABCD là góc nào ?*)Phân tích V = $\frac{1}{3}$Bh để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
*)Tìm h = SO qua tam giác và hệ thức lượng giác nào?
*)Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*)Tính thể tích của SAEMF quá phức tạp thì sao ?Lập tỉ số thể tích của SAEMF và SABCD bằng cách nào ?
*) Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
*) Lập tỉ số thể tích của SAMF với SACD ?
Lời giải
a) Gọi I = SO ∩ AM. Ta có (AEMF) //BD →EF // BDb) ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO$ với S$_{ABCD}$ = a$^2$
ΔSOA có: $SO = AO.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \to {V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$
c) Phân chia chóp tứ giác ta có $\begin{array}{l}{V_{S.AEMF}} = {V_{S.AMF}} + {V_{S.AME}} = 2{V_{S.AMF}}\\{V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ACD}} = 2{V_{S.ABC}}\end{array}$
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có: $\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}$
ΔSAC có trọng tâm I, EF // BD $ \to \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} \to \frac{{{V_{S.AMF}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}$
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a√2. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC $ \bot $ (AB’D’)
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các bài toán nhỏ:
*) Phân tích V = $\frac{1}{3}$Bh để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?
*) Chứng minh SC vuông góc 2 đường thẳng nào trong (AB'D') ?
*) Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
*) Hãy so sánh thể tích của SABC và SACD với SABCD ?
*) Hãy so sánh thể tích của SAB'C' và SAC'D' với SAB'C'D' ?
*) Lập tỉ số thể tích của SAB'C' với SABC . Suy ra điều gì ?
Lời giải
a) Ta có: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$b) Ta có BC $\bot$ (SAB) → BC → BC$\bot$ AB’ & SB$\bot$ AB’ → AB’ $\bot$ (SBC)
nên AB'$\bot$ SC .Tương tự AD'$\bot$ SC.Vậy SC $\bot$ (AB'D')
c) Tính V$_{S.AB’C’}$: Ta có: $\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\left( * \right)$
ΔSAC vuông cân nên $\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{3{a^2}}} = \frac{2}{3}$
$\begin{array}{l}\left( * \right) \to \frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{3} \to {V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\\{V_{S.AB'C'D'}} = 2{V_{S.AB'C'}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{9}\end{array}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.
Đs: k = 1/4
Bài 2. Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m$^3$ ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB'
2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'.
Đs: V = 2 m$^3$
Bài 3. Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho AB = a/2; AC’ = 2a/3. Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}$
Bài 4. Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m$^3$ .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP.
Đs: V = 1 m$^3$
Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a√3,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{40}}$
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m$^3$ .Lấy A'trên SA sao cho
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'.
Đs: V = 1 m$^3$
Bài 7. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m$^3$, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN .
Đs: V = 4m$^3$
Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và // BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính ${V_{S.AMNP}}$
Đs: $V = \frac{{{a^2}h}}{9}$
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này.
Đs: k = 1/2
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = x$ Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
Đs: $x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$
