Dạng 5: Năng lượng của con lắc lò xo

[Doremon]

1. PHƯƠNG PHÁP
Giả sủa một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình:

• Phương trình dao động có dạng : x = Acos(ωt + φ) m
• Phương trình vận tốc: v = - Asin(ωt + φ) m/s

Khi đó, năng lượng của con lắc là:

• Thế năng đàn hồi: ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}k{A^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$
• Động năng: ${{\rm{W}}_đ } = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)$
• Cơ năng: $W = {W_t} + {W_đ } = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$

Chú ý:

• Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kì là T/2.
• Khi tính toán ta phải đổi đơn vị của khối lượng về kg; đơn vị của biên độ về m; đơn vị của x về m; đơn vị của vận tốc về m/s; khi đó đơn vị của động năng hay thế năng hay cơ năng sẽ là J (Jun).

2. VẬN DỤNG

Ví dụ 1:
Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ khối lượng m = 500g và lò xo có độ cứng k = 50 N/m. Cho con lắc dao động điều hòa trên phương nằm ngang. Tại thời điểm vận tốc của quả cầu là 0,1 m/s thì gia tốc của nó là $ - \sqrt 3 \,m/{s^2}.$ Cơ năng của con lắc là
A. 0,02 J.
B. 0,05 J.
C. 0,04 J.
D. 0,01 J.

Lời giải​

$W = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2}W = \frac{1}{2}k{\left( {\frac{{ - ma}}{k}} \right)^2} + \frac{1}{2}m{v^2} = 0,01J$
Chọn D

Ví dụ 2:
Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và vật nhỏ dao động điều hòa. Khi vật có động năng 0,01 J thì nó cách vị trí cân bằng 1 cm. Hỏi khi nó có động năng 0,005 J thì nó cách vị trí cân bằng bao nhiêu?
A. 6 cm.
B. 4,5 cm.
C. $\sqrt 2 $ cm.
D. 3 cm.

Lời giải​

${\rm{W}} = {{\rm{W}}_t} + {W_\~n } = {\mathop{\rm c}\nolimits} onst \to {{\rm{W}}_{t1}} + {W_{đ 1}} = {{\rm{W}}_{2t}} + {W_{2\~n }} \to \frac{1}{2}.100.{\left( {{{10}^{ - 2}}} \right)^2} + 0,01 = \frac{1}{2}.100.{\left( {{x_2}} \right)^2} + 0,005 \to {x_2} = 0,01\sqrt 2 m$
Chọn C

Ví dụ 3:
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2 s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng 1/3 lần thế năng là
A. 26,12 cm/s.
B. 7,32 cm/s.
C. 14,64 cm/s.
D. 21,96 cm/s.

Lời giải​

${{\rm{W}}_d} = 3{W_t} \to x = \pm \frac{A}{2};\,{W_đ } = \frac{1}{3}{W_t} \to W = \frac{4}{3}{W_t} \to x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.A$
Thời gian ngắn nhất cần tìm là thời gian chất điểm đi từ $x = \frac{A}{2} \to x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.A$ hoặc $x = - \frac{A}{2} \to x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.A$ là $\Delta t = \frac{T}{6} - \frac{T}{{12}} = \frac{T}{6}$
Quãng đường cần tìm: $s = \frac{{\sqrt 3 A}}{2} - \frac{A}{2} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)A}}{2} \to {v_{tb}} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)A}}{2}:\frac{T}{{12}} = 21,96cm/s$
Chọn D

Bài tập về nhà

• Phiếu đề bài: Tải
• Phiếu đáp án: Tải