A. MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC VÀ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A ta có
- Định lý pitago: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$
- $B{A^2} = BH.BC;\,\,\,C{A^2} = CH.CB$
- $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$
- $A{H^2} = BH.CH$
- BC = 2 AM
- Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông :
$\sin \widehat B = \frac{{{\rm{đối }}}}{{{\rm{huyền}}}} = \frac{b}{a}$; $\cos \widehat B = \frac{{{\rm{kề }}}}{{{\rm{huyền}}}} = \frac{c}{a}$; $\tan \widehat B = \frac{{{\rm{đối}}}}{{{\rm{kề }}}} = \frac{b}{c}$
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lí hàm số côsin : ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.c{\rm{osA}}$
* Định lí hàm số sin : $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ ( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC )
3. Các công thức tính diện tích:
a. Công thức tính diện tích tam giác:
- ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AH$
- ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A = \frac{{a.b.c}}{{4R}} = p.r = \sqrt {p.(p - a)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $ Với $p = \frac{{a + b + c}}{2}$
* Đặc biệt: Diện tích tam giác vuông: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC$
+ Tam giác cân:
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
- Tính đường cao và diện tích AH = BH.tan$\widehat B$ và ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AH$
+ Tam giác đều
- Đường cao của tam giác đều: $h = AM = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
( đường cao h = cạnh x $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$)
- Diện tích : ${S_{\Delta ABC}} = {(AB)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
b) Hình vuông: S = cạnh x cạnh
c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S = $\frac{1}{2}$ ( chéo dài x chéo ngắn )
e) Diện tích hình thang: S = $\frac{1}{2}$ ( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
i) Diện tích hình tròn : S = πR$^2$
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:
• Định lý 1: $\left. \begin{array}{l}a \cap b;\,a,\,b \in \left( P \right)\\d \bot a,\,d \bot b\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot \left( P \right)$
• Định lý 2 : Nếu $d \bot \left( P \right) \Rightarrow $ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
• Định lý 3: $\left. \begin{array}{l}d//d'\\d \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot \left( P \right)$
• Định lý 4: $\left. \begin{array}{l}d \subset \left( Q \right)\\d \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( Q \right) \bot \left( P \right)$
• Định lý 5: $\left. \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \Delta \\d \subset \left( P \right),\,d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot \left( Q \right)$
• Định lý 6 : $\left. \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \Delta \\\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)$
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cách xác định góc
- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
Xác định góc giữa SB và (ABC)
Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC)→ $\widehat {(SB,(ABC))} = \widehat {(SB,AB)} = \widehat {SBA}$
3. Góc giữa hai mặt phẳng
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
Ta có : $\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (SABC) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA}$
Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A ta có
- $B{A^2} = BH.BC;\,\,\,C{A^2} = CH.CB$
- $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$
- $A{H^2} = BH.CH$
- BC = 2 AM
- Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông :
$\sin \widehat B = \frac{{{\rm{đối }}}}{{{\rm{huyền}}}} = \frac{b}{a}$; $\cos \widehat B = \frac{{{\rm{kề }}}}{{{\rm{huyền}}}} = \frac{c}{a}$; $\tan \widehat B = \frac{{{\rm{đối}}}}{{{\rm{kề }}}} = \frac{b}{c}$
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lí hàm số côsin : ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.c{\rm{osA}}$
* Định lí hàm số sin : $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ ( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC )
3. Các công thức tính diện tích:
a. Công thức tính diện tích tam giác:
- ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AH$
- ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A = \frac{{a.b.c}}{{4R}} = p.r = \sqrt {p.(p - a)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $ Với $p = \frac{{a + b + c}}{2}$
* Đặc biệt: Diện tích tam giác vuông: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC$
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
- Tính đường cao và diện tích AH = BH.tan$\widehat B$ và ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AH$
- Đường cao của tam giác đều: $h = AM = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
( đường cao h = cạnh x $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$)
- Diện tích : ${S_{\Delta ABC}} = {(AB)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S = $\frac{1}{2}$ ( chéo dài x chéo ngắn )
e) Diện tích hình thang: S = $\frac{1}{2}$ ( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
i) Diện tích hình tròn : S = πR$^2$
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:
• Định lý 1: $\left. \begin{array}{l}a \cap b;\,a,\,b \in \left( P \right)\\d \bot a,\,d \bot b\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot \left( P \right)$
• Định lý 2 : Nếu $d \bot \left( P \right) \Rightarrow $ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
• Định lý 3: $\left. \begin{array}{l}d//d'\\d \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot \left( P \right)$
• Định lý 4: $\left. \begin{array}{l}d \subset \left( Q \right)\\d \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( Q \right) \bot \left( P \right)$
• Định lý 5: $\left. \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \Delta \\d \subset \left( P \right),\,d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot \left( Q \right)$
• Định lý 6 : $\left. \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \Delta \\\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)$
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cách xác định góc
- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
Xác định góc giữa SB và (ABC)
Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC)→ $\widehat {(SB,(ABC))} = \widehat {(SB,AB)} = \widehat {SBA}$
3. Góc giữa hai mặt phẳng
Ta có : $\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (SABC) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA}$
Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
