I.LÝ THUYẾT
1.Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b khi quay xung quanh trục Ox là:
V = $\pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $
*Cho hàm số x = g(y) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b khi quay xung quanh trục Oy là:
V = $\pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $
2.Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a; y = b khi quay quanh trục Ox là:
V = $\pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} dx$
II.CáC bài toán thường gặp
1.Bài toán 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a; x = b khi quay quanh trục Ox.
*Phương pháp giải:
áp dụng công thức: V = $\pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $
*Bài tập áp dụng:
VD1: Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = xe$^{x/2}, trục Ox và x = 0; x = 1.
Xét I = $\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
Khi đó: $\left. {{x^2}{e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} = e - 2J$ (1)
Tính J = $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
Khi đó: J =$\left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = 1\left( 2 \right)$ (2)
Từ (1) và (2) → I = e – 2
Vậy V = (e – 2)π (đvtt).
VD 2: (ĐH Nông Nghiệp- 99)
Cho hình (D) giới hạn bởi các đường: y = $\sin \frac{x}{2}\cos x$ ; y = 0 và x = 0; x = π/2.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho (D) quay quanh trục Ox.
Giải
VD 3: Tính thể tích khối tròn xoay do hình (H) giới hạn bởi: y = $\sqrt {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + \frac{3}{4}} $
trục Ox và x = π/6; x = π/4
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + \frac{3}{4})dx} = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {(1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x + \frac{3}{4})dx} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{3}{2} + \frac{1}{4}\cos 4x)dx} \\
= \left. {\frac{{3\pi }}{8}x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} + \left. {\frac{\pi }{{64}}\sin 4x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{32}} - \frac{{\sqrt 3 \pi }}{{128}}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 4:( HVNH.TPHCM- 99)
Cho (H) là miền kín giới hạn bởi các đường: $y = x\sqrt {\ln (1 + {x^3})} $ (L), trục Ox và x = 1.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho ( H) quay quanh trục Ox.
Giải
VD 5: ( ĐH-CĐ - Khối B- 2007)
Cho hình (H) giới hạn bởi : y = xlnx; y = 0 và x = e .Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
x > 0\\
\ln x = 0
\end{array} \right.$ ↔ x = 1
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} $
Xét $I = \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{2}{x}\ln xdx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \left. {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} = \frac{1}{3}{e^3} - \frac{2}{3}J$
Tính J: Đặt
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $\begin{array}{l}
J = \left. {\frac{1}{3}{x^3}\ln x} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{e^3} - \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_1^e = \frac{2}{9}{e^3} + \frac{1}{9}\\
\to I = \frac{5}{{27}}{e^3} - \frac{2}{{27}}\\
V = \left( {5{e^3} - 2} \right).\frac{\pi }{{27}}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 6: (ĐH Y Hà Nội – 99)
Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elip $\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1$ khi nó quay quanh trục Ox.
Giải
2.Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x);
y = g(x) quay quanh trục Ox.
*Phương pháp giải:
VD 1: ( ĐHQG Hà Nội- 99)
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = x$^2$ – 4x + 6 và
y = - x$^2$ – 2x + 6 quay quanh trục Ox.
Giải
VD 2: (HVQY- 97)
Cho hình phẳng giới hạn bởi : D = { y = x$^2$ ; y = $\sqrt x $ }. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh trục Ox.
Giải
VD 3: (ĐH Nông Nghiệp I – 99)
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường: y = $\frac{1}{{1 + {x^2}}}$ và y = $\frac{{{x^2}}}{2}$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.
Giải
VD 4: (ĐHSP Hà Nội 2 – 99)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = $\sqrt x $ ; y = x ; x = 5.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (D) quanh trục Ox.
x \ge 0\\
x = {x^2}
\end{array} \right.$
↔$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.$
Thể tích cần tìm: $\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {(x - {x^2})dx} + \pi \int\limits_1^5 {({x^2} - x)dx} \\
= \left. {\pi (\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3})} \right|_0^1 + \left. {\pi (\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2})} \right|_1^5 = \frac{{59\pi }}{2}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 5: (ĐH Y DƯỢC TP.HCM- 2001)
Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường: y = -3x + 10 ; y = 1 ; y = x$^2$ (x > 0) và (D) nằm ngoài parabol y = x$^2$.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Ox.
Giải
3.Bài toán 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x = g(y); x = 0 và y = a; y = b quay xung quanh trục Oy.
*Phương pháp giải:
áp dụng công thức: V = $\pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $
*Bài tập áp dụng:
VD 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: y = x$^2$ + 1; y = 1; y = 2 và trục Oy quay quanh trục Oy.
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_1^2 {{x^2}dy} = \pi \int\limits_1^2 {(y - 1)dy} = \left. {\pi (\frac{1}{2}{y^2} - y)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{2}$
VD 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip (E): ${x^2} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ khi nó quay quanh trục Oy.
Ta có: ${x^2} = 1 - \frac{{{y^2}}}{9}$ →Phương trình nửa bên phải Oy của elip: $x = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} $
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {(1 - \frac{{{y^2}}}{9})dy} = \left. {\pi (y - \frac{{{y^3}}}{{27}})} \right|_{ - 3}^3 = 4\pi \left( {dvtt} \right)$
VD 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: Parabol (P): y = x2 – 2x ; trục Oy và tiếp tuyến tại đỉnh của (P), Tính thể tích khối trũn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy.
Giải
Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: x = f(y); x = g(y) và y = a; y = b.
*Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: V = $\pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dy} $
*Bài tập áp dụng:
VD 1: (ĐHQG TP.HCM – 2000)
Cho (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y = $\sqrt x $ ; y = 2 – x và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải
VD 2: Tính thể tích vật thể tạo thành do miền (D) giới hạn bởi: y = 2x – x2 ; y = 0 khi nó
quay quanh trục Oy.
V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{(1 + \sqrt {1 - y} )}^2} - {{(1 - \sqrt {1 - y} )}^2}} \right]dy} \\
= 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} = \frac{{ - 8\pi }}{3}\left. {\sqrt {{{(1 - y)}^3}} } \right|_0^1\\
= \frac{{8\pi }}{3}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 3: (ĐH Hằng Hải – 2000)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi: y = (x – 2)$^2$ và y = 4.
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh trục Oy.
x = 2 + \sqrt y \\
x = 2 - \sqrt y
\end{array} \right.$
Thể tích cần tính: $\pi \int\limits_0^4 {\left[ {{{(2 + \sqrt y )}^2} - {{(2 - \sqrt y )}^2}} \right]dy} = 8\pi \int\limits_0^4 {\sqrt y dy = } \left. {\frac{{16\pi }}{3}\sqrt {{y^3}} } \right|_0^4 = \frac{{128\pi }}{3}\left( {dvtt} \right)$
Bài toán 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi một đường cong (C) kín.
*Phương pháp giải:
1/ Khi (D) quay quanh trục Ox:
2/ Khi (D) quay quanh trục Oy:
*Bài tập áp dụng:
VD 1: (ĐH XD – 94)
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn (C): x$^2$ + (y - 2) $^2$ = 1 quanh trục Ox.
Giải
VD 2: (ĐH SP Hà Nội 2 – 2001)
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy của hình phẳng giới hạn bởi nửa đườnh tròn: (x - a)$^2$ + y$^2$ = b$^2$ với 0 < b < a.
Giải
1.Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b khi quay xung quanh trục Ox là:
V = $\pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $
*Cho hàm số x = g(y) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b khi quay xung quanh trục Oy là:
V = $\pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $
2.Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a; y = b khi quay quanh trục Ox là:
V = $\pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} dx$
II.CáC bài toán thường gặp
1.Bài toán 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a; x = b khi quay quanh trục Ox.
*Phương pháp giải:
áp dụng công thức: V = $\pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $
*Bài tập áp dụng:
VD1: Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = xe$^{x/2}, trục Ox và x = 0; x = 1.
Giải
Thể tích vật thể cần tìm: V = $\pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} $Xét I = $\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
Khi đó: $\left. {{x^2}{e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} = e - 2J$ (1)
Tính J = $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
Khi đó: J =$\left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = 1\left( 2 \right)$ (2)
Từ (1) và (2) → I = e – 2
Vậy V = (e – 2)π (đvtt).
VD 2: (ĐH Nông Nghiệp- 99)
Cho hình (D) giới hạn bởi các đường: y = $\sin \frac{x}{2}\cos x$ ; y = 0 và x = 0; x = π/2.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho (D) quay quanh trục Ox.
Giải
Thể tích vật thể cần tìm:
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}xdx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 - \cos x){{\cos }^2}xdx} \\
= \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \frac{3}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x)dx} \\
= \left. {\frac{\pi }{2}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{{12}}\sin 3x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8} - \frac{\pi }{3}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}xdx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 - \cos x){{\cos }^2}xdx} \\
= \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \frac{3}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x)dx} \\
= \left. {\frac{\pi }{2}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{{12}}\sin 3x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8} - \frac{\pi }{3}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 3: Tính thể tích khối tròn xoay do hình (H) giới hạn bởi: y = $\sqrt {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + \frac{3}{4}} $
trục Ox và x = π/6; x = π/4
Giải
Thể tích vật thể cần tìm:$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + \frac{3}{4})dx} = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {(1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x + \frac{3}{4})dx} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{3}{2} + \frac{1}{4}\cos 4x)dx} \\
= \left. {\frac{{3\pi }}{8}x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} + \left. {\frac{\pi }{{64}}\sin 4x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{32}} - \frac{{\sqrt 3 \pi }}{{128}}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 4:( HVNH.TPHCM- 99)
Cho (H) là miền kín giới hạn bởi các đường: $y = x\sqrt {\ln (1 + {x^3})} $ (L), trục Ox và x = 1.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho ( H) quay quanh trục Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (L) và trục Ox là nghiệm phương trình:
$x\sqrt {\ln (1 + {x^3})} = 0 \leftrightarrow x = 0$
Thể tích vật thể cần tìm:
$V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^3})dx} $
Xét I = $\int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^3})dx} $
Đặt t = 1 + x$^3$ → dt = 3x$^2$dx
Đổi cận: x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 2
Khi đó: I = $\frac{1}{3}\int\limits_1^2 {\ln tdt} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln t\\
dv = dt
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dt}}{t}\\
v = t
\end{array} \right.$
$I = \frac{1}{3}.\left. {t\ln t} \right|_1^2 - \frac{1}{3}.\int\limits_1^2 {dt} = 2\ln \left( 2 \right) - \left. t \right|_1^2 = \frac{1}{3}\left( {2\ln \left( 2 \right) - 1} \right)$
Vậy V = (2ln2 – 1)π/3 (đvtt)
*Chú ý: Bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi: y = f(x); y = 0 hoặc y = f(x);
y = 0 và x = a.Khi đó giải phương trình f(x) = 0 để tìm cận.
$x\sqrt {\ln (1 + {x^3})} = 0 \leftrightarrow x = 0$
Thể tích vật thể cần tìm:
$V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^3})dx} $
Xét I = $\int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^3})dx} $
Đặt t = 1 + x$^3$ → dt = 3x$^2$dx
Đổi cận: x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 2
Khi đó: I = $\frac{1}{3}\int\limits_1^2 {\ln tdt} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln t\\
dv = dt
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dt}}{t}\\
v = t
\end{array} \right.$
$I = \frac{1}{3}.\left. {t\ln t} \right|_1^2 - \frac{1}{3}.\int\limits_1^2 {dt} = 2\ln \left( 2 \right) - \left. t \right|_1^2 = \frac{1}{3}\left( {2\ln \left( 2 \right) - 1} \right)$
Vậy V = (2ln2 – 1)π/3 (đvtt)
*Chú ý: Bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi: y = f(x); y = 0 hoặc y = f(x);
y = 0 và x = a.Khi đó giải phương trình f(x) = 0 để tìm cận.
VD 5: ( ĐH-CĐ - Khối B- 2007)
Cho hình (H) giới hạn bởi : y = xlnx; y = 0 và x = e .Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
Giải
Xét phương trình: xlnx = 0 ↔ $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\
\ln x = 0
\end{array} \right.$ ↔ x = 1
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} $
Xét $I = \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{2}{x}\ln xdx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \left. {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} = \frac{1}{3}{e^3} - \frac{2}{3}J$
Tính J: Đặt
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $\begin{array}{l}
J = \left. {\frac{1}{3}{x^3}\ln x} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{e^3} - \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_1^e = \frac{2}{9}{e^3} + \frac{1}{9}\\
\to I = \frac{5}{{27}}{e^3} - \frac{2}{{27}}\\
V = \left( {5{e^3} - 2} \right).\frac{\pi }{{27}}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 6: (ĐH Y Hà Nội – 99)
Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elip $\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1$ khi nó quay quanh trục Ox.
Giải
Hình elip trên nhận Ox làm trục đối xứng nên khối elipxôit tròn xoay được sinh ra bởi nửa phía trên Ox của elip khi quay quanh Ox.
Ta có: ${y^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2} - {x^2})$ →Phương trình nửa trên Ox của elip: y = $\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2} - {x^2})} $
Thể tích cần tìm: $V = \pi \int\limits_{ - b}^b {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2} - {x^2})dx} = \left. {\frac{{\pi {a^2}}}{{{b^2}}}({b^2}x - \frac{{{x^3}}}{3})} \right|_{ - b}^b = \frac{4}{3}\pi {a^2}b\left( {dvtt} \right)$
Ta có: ${y^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2} - {x^2})$ →Phương trình nửa trên Ox của elip: y = $\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2} - {x^2})} $
Thể tích cần tìm: $V = \pi \int\limits_{ - b}^b {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}({b^2} - {x^2})dx} = \left. {\frac{{\pi {a^2}}}{{{b^2}}}({b^2}x - \frac{{{x^3}}}{3})} \right|_{ - b}^b = \frac{4}{3}\pi {a^2}b\left( {dvtt} \right)$
2.Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x);
y = g(x) quay quanh trục Ox.
*Phương pháp giải:
- Giải phương trình: f(x) = g(x) có nghiệm x = a; x = b
- Khi đó thể tích cần tìm: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} dx$
VD 1: ( ĐHQG Hà Nội- 99)
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = x$^2$ – 4x + 6 và
y = - x$^2$ – 2x + 6 quay quanh trục Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình: x$^2$ – 4x + 6 = - x$^2$ – 2x + 6 ↔2x$^2$ – 2x = 0 ↔ x = 0 hoặc x = 1
Thể tích vật thể cần tìm:
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{({x^2} - 4x + 6)}^2} - {{( - {x^2} - 2x + 6)}^2}} \right|} dx\\
= \pi \int\limits_0^1 {\left| { - 12{x^3} + 36{x^2} - 24x} \right|} dx\\
= \left| {\pi \int\limits_0^1 {( - 12{x^3} + 36{x^2} - 24x)} dx} \right|\\
= \left| {\left. {\pi ( - 3{x^4} + 12{x^3} - 12{x^2})} \right|_0^1} \right|\\
= 3\pi \left( {dvtt} \right)
\end{array}$
Chú ý: Nếu vẽ đồ thị ta có: V = $\pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{( - {x^2} - 2x + 6)}^2} - {{({x^2} - 4x + 6)}^2}} \right]} dx$
Thể tích vật thể cần tìm:
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{({x^2} - 4x + 6)}^2} - {{( - {x^2} - 2x + 6)}^2}} \right|} dx\\
= \pi \int\limits_0^1 {\left| { - 12{x^3} + 36{x^2} - 24x} \right|} dx\\
= \left| {\pi \int\limits_0^1 {( - 12{x^3} + 36{x^2} - 24x)} dx} \right|\\
= \left| {\left. {\pi ( - 3{x^4} + 12{x^3} - 12{x^2})} \right|_0^1} \right|\\
= 3\pi \left( {dvtt} \right)
\end{array}$
Chú ý: Nếu vẽ đồ thị ta có: V = $\pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{( - {x^2} - 2x + 6)}^2} - {{({x^2} - 4x + 6)}^2}} \right]} dx$
VD 2: (HVQY- 97)
Cho hình phẳng giới hạn bởi : D = { y = x$^2$ ; y = $\sqrt x $ }. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh trục Ox.
Giải
Xét phương trình: x2 = $\sqrt x $ ↔ x$^4$ = x ↔ x = 0 hoặc x = 1
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_0^1 {(x - {x^4})dx} = \pi \left. {(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{5}{x^5})} \right|_0^1 = \frac{{3\pi }}{{10}}\left( {dvtt} \right)$
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_0^1 {(x - {x^4})dx} = \pi \left. {(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{5}{x^5})} \right|_0^1 = \frac{{3\pi }}{{10}}\left( {dvtt} \right)$
VD 3: (ĐH Nông Nghiệp I – 99)
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường: y = $\frac{1}{{1 + {x^2}}}$ và y = $\frac{{{x^2}}}{2}$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.
Giải
Xét phương trình: $\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{{{x^2}}}{2} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.$
Thể tích vật thể cần tìm:
$\begin{array}{l}
= \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{{{(1 + {x^2})}^2}}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \right|} dx = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}dx - \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2}}}{4}dx} } } \right|\\
= \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{(1 + x{}^2)}^2}}}dx - \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_{ - 1}^1} } \right| = \pi \left| {I - \frac{1}{6}} \right|
\end{array}$
với I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} $
Tính I:
Đặt x = tant, $t \in (\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}) \to dx = \left( {1 + {{\tan }^2}\left( t \right)} \right)dt$
Đổi cận: x = -1 → t = - π/4
x = 1→ t = π/4
Khi đó: $I = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{{{(1 + {{\tan }^2}t)}^2}}}} dt = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}t} dt = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {\frac{1}{2}(t + \frac{1}{2}\sin 2t)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\left( {dvtt} \right)$
Vậy $V = \frac{\pi }{{12}}(3\pi + 4)$ (đvtt)
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.$
Thể tích vật thể cần tìm:
$\begin{array}{l}
= \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{{{(1 + {x^2})}^2}}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \right|} dx = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}dx - \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2}}}{4}dx} } } \right|\\
= \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{(1 + x{}^2)}^2}}}dx - \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_{ - 1}^1} } \right| = \pi \left| {I - \frac{1}{6}} \right|
\end{array}$
với I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} $
Tính I:
Đặt x = tant, $t \in (\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}) \to dx = \left( {1 + {{\tan }^2}\left( t \right)} \right)dt$
Đổi cận: x = -1 → t = - π/4
x = 1→ t = π/4
Khi đó: $I = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{{{(1 + {{\tan }^2}t)}^2}}}} dt = \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}t} dt = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {\frac{1}{2}(t + \frac{1}{2}\sin 2t)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\left( {dvtt} \right)$
Vậy $V = \frac{\pi }{{12}}(3\pi + 4)$ (đvtt)
VD 4: (ĐHSP Hà Nội 2 – 99)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = $\sqrt x $ ; y = x ; x = 5.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (D) quanh trục Ox.
Giải
Xét phương trình: $\sqrt x $ = x ↔$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\
x = {x^2}
\end{array} \right.$
↔$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.$
Thể tích cần tìm: $\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {(x - {x^2})dx} + \pi \int\limits_1^5 {({x^2} - x)dx} \\
= \left. {\pi (\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3})} \right|_0^1 + \left. {\pi (\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2})} \right|_1^5 = \frac{{59\pi }}{2}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 5: (ĐH Y DƯỢC TP.HCM- 2001)
Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường: y = -3x + 10 ; y = 1 ; y = x$^2$ (x > 0) và (D) nằm ngoài parabol y = x$^2$.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Ox.
Giải
Xét phương trình: x$^2$ = -3x + 10 ↔ x$^2$ + 3x – 10 = 0 ↔ $\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 5
\end{array} \right.x = 2$
Vẽ đồ thị:
Thể tích vật thể cần tìm: $\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_1^2 {{x^4}dx} + \pi \int\limits_2^3 {{{(10 - 3x)}^2}dx} - \pi \int\limits_1^3 {dx} \\
= \left. {\frac{\pi }{5}{x^5}} \right|_1^2 - \left. {\frac{\pi }{9}{{(10 - 3x)}^3}} \right|_2^3 - \left. {\pi x} \right|_1^3 = \frac{{56\pi }}{5}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
x = 2\\
x = - 5
\end{array} \right.x = 2$
Vẽ đồ thị:
Thể tích vật thể cần tìm: $\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_1^2 {{x^4}dx} + \pi \int\limits_2^3 {{{(10 - 3x)}^2}dx} - \pi \int\limits_1^3 {dx} \\
= \left. {\frac{\pi }{5}{x^5}} \right|_1^2 - \left. {\frac{\pi }{9}{{(10 - 3x)}^3}} \right|_2^3 - \left. {\pi x} \right|_1^3 = \frac{{56\pi }}{5}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
3.Bài toán 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x = g(y); x = 0 và y = a; y = b quay xung quanh trục Oy.
*Phương pháp giải:
áp dụng công thức: V = $\pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $
*Bài tập áp dụng:
VD 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: y = x$^2$ + 1; y = 1; y = 2 và trục Oy quay quanh trục Oy.
Giải
Ta có: y = x$^2$ + 1 ↔ x$^2$ = y – 1Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_1^2 {{x^2}dy} = \pi \int\limits_1^2 {(y - 1)dy} = \left. {\pi (\frac{1}{2}{y^2} - y)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{2}$
VD 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip (E): ${x^2} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ khi nó quay quanh trục Oy.
Giải
Hình elip trên nhận Oy làm trục đối xứng nên vật thể tròn xoay được sinh ra bởi nửa bên phải trục Oy của elip khi quay quanh Oy.Ta có: ${x^2} = 1 - \frac{{{y^2}}}{9}$ →Phương trình nửa bên phải Oy của elip: $x = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} $
Thể tích vật thể cần tìm: $V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {(1 - \frac{{{y^2}}}{9})dy} = \left. {\pi (y - \frac{{{y^3}}}{{27}})} \right|_{ - 3}^3 = 4\pi \left( {dvtt} \right)$
VD 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: Parabol (P): y = x2 – 2x ; trục Oy và tiếp tuyến tại đỉnh của (P), Tính thể tích khối trũn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy.
Giải
Gọi I là đỉnh của (P) → I(1; -1)
Ta có: y’ = 2x – 2 → y’ (1) = 0
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại I
y = y’ (1)(x – 1) – 1
y = -1
Ta có: y = x$^2$ – 2x ↔x$^2$ – 2x – y = 0 → $\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt {1 + y} \\
x = 1 - \sqrt {1 + y}
\end{array} \right.x = 1 - \sqrt {1 + y} $
Thể tích cần tính: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{(1 - \sqrt {1 + y} )}^2}dy} = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {(2 + y - 2\sqrt {1 + y} )dy} = \left. {\pi (2y + \frac{{{y^2}}}{2} - \frac{4}{3}\sqrt {{{(1 + y)}^3}} } \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{6}\left( {dvtt} \right)$
Ta có: y’ = 2x – 2 → y’ (1) = 0
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại I
y = y’ (1)(x – 1) – 1
y = -1
x = 1 + \sqrt {1 + y} \\
x = 1 - \sqrt {1 + y}
\end{array} \right.x = 1 - \sqrt {1 + y} $
Thể tích cần tính: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{(1 - \sqrt {1 + y} )}^2}dy} = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {(2 + y - 2\sqrt {1 + y} )dy} = \left. {\pi (2y + \frac{{{y^2}}}{2} - \frac{4}{3}\sqrt {{{(1 + y)}^3}} } \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{6}\left( {dvtt} \right)$
Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: x = f(y); x = g(y) và y = a; y = b.
*Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: V = $\pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dy} $
*Bài tập áp dụng:
VD 1: (ĐHQG TP.HCM – 2000)
Cho (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y = $\sqrt x $ ; y = 2 – x và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải
Ta có: y = $\sqrt x $ ↔$\left\{ \begin{array}{l}
y \ge 0\\
x = {y^2}
\end{array} \right.$
Tung độ giao điểm thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}
y \ge 0\\
y = 2 - {y^2}
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \to y = 1$
Thể tích cần tìm:
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{(2 - y)}^2} - {y^4}} \right]} dy\\
= \pi \int\limits_0^1 {( - {y^4} + {y^2} - 4y + 4)} dy\\
= \left. {\pi (\frac{{ - {y^5}}}{5} + \frac{{{y^3}}}{3} - 2{y^2} + 4y)} \right|_0^1\\
= \frac{{32\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
y \ge 0\\
x = {y^2}
\end{array} \right.$
Tung độ giao điểm thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}
y \ge 0\\
y = 2 - {y^2}
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \to y = 1$
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{(2 - y)}^2} - {y^4}} \right]} dy\\
= \pi \int\limits_0^1 {( - {y^4} + {y^2} - 4y + 4)} dy\\
= \left. {\pi (\frac{{ - {y^5}}}{5} + \frac{{{y^3}}}{3} - 2{y^2} + 4y)} \right|_0^1\\
= \frac{{32\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 2: Tính thể tích vật thể tạo thành do miền (D) giới hạn bởi: y = 2x – x2 ; y = 0 khi nó
quay quanh trục Oy.
giải
$\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{(1 + \sqrt {1 - y} )}^2} - {{(1 - \sqrt {1 - y} )}^2}} \right]dy} \\
= 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} = \frac{{ - 8\pi }}{3}\left. {\sqrt {{{(1 - y)}^3}} } \right|_0^1\\
= \frac{{8\pi }}{3}\left( {dvtt} \right)
\end{array}$
VD 3: (ĐH Hằng Hải – 2000)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi: y = (x – 2)$^2$ và y = 4.
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh trục Oy.
giải
Ta có: y = (x – 2)$^2$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt y \\
x = 2 - \sqrt y
\end{array} \right.$
Bài toán 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi một đường cong (C) kín.
*Phương pháp giải:
1/ Khi (D) quay quanh trục Ox:
- Chia đường cong (C) thành 2 cung: y$_1$ = f$_1$(x) và y$_2$= f$_2$(x) với x [a;b] và f$_1$ (x); f$_2$ (x) cùng dấu
- Khi đó thể tích cần tính: V = $\pi \int\limits_a^b {\left| {y_1^2 - y_2^2} \right|} dx$.
2/ Khi (D) quay quanh trục Oy:
- Chia đường cong (C) thành 2 cung: x$_1$ = f$_1$ (y) và : x$_2$ = f$_2$ (y) với y [a;b] và f$_1$ (y); f$_2$ (y) cùng dấu.
- Khi đó thể tích cần tính: V = $\pi \int\limits_a^b {\left| {x_1^2 - x_2^2} \right|dy} $
*Bài tập áp dụng:
VD 1: (ĐH XD – 94)
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn (C): x$^2$ + (y - 2) $^2$ = 1 quanh trục Ox.
Giải
Hình tròn (C) có tâm I(0; 2), bán kính R = 1.
Ta có: x$^2$ + (y - 2) $^2$ = 1
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} \\
y = 2 - \sqrt {1 - {x^2}}
\end{array} \right.$
Thể tích cần tính: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{(2 + \sqrt {1 - {x^2}} )}^2} - {{(2 - \sqrt {1 - {x^2}} )}^2}} \right]dx} = 8\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} $
Đặt x = sin(t) , t [$\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}$] dx = costdt
Đổi cận: x = - 1 → t = - π/2
x = 1 → t = π/2
Khi đó: $V = 8\pi \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = 4\pi \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2t)dt} = \left. {4\pi (t + \frac{1}{2}\sin 2t)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 4{\pi ^2}\left( {dvtt} \right)$
Ta có: x$^2$ + (y - 2) $^2$ = 1
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} \\
y = 2 - \sqrt {1 - {x^2}}
\end{array} \right.$
Thể tích cần tính: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{(2 + \sqrt {1 - {x^2}} )}^2} - {{(2 - \sqrt {1 - {x^2}} )}^2}} \right]dx} = 8\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} $
Đặt x = sin(t) , t [$\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}$] dx = costdt
Đổi cận: x = - 1 → t = - π/2
x = 1 → t = π/2
Khi đó: $V = 8\pi \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = 4\pi \int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2t)dt} = \left. {4\pi (t + \frac{1}{2}\sin 2t)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 4{\pi ^2}\left( {dvtt} \right)$
VD 2: (ĐH SP Hà Nội 2 – 2001)
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy của hình phẳng giới hạn bởi nửa đườnh tròn: (x - a)$^2$ + y$^2$ = b$^2$ với 0 < b < a.
Giải
Đường tròn: Tâm I(a; 0), bán kính R = b.
Ta có: (x - a) $^2$ + y$^2$ = b$^2$ → $\left[ \begin{array}{l}
x = a + \sqrt {{b^2} - {y^2}} \\
x = a - \sqrt {{b^2} - {y^2}}
\end{array} \right.$
Thể tích cần tính: $V = \pi \int\limits_{ - b}^b {\left[ {{{(a + \sqrt {{b^2} - {y^2}} )}^2} - {{(a - \sqrt {{b^2} - {y^2}} )}^2}} \right]dy} = 4\pi a\int\limits_{ - b}^b {\sqrt {{b^2} - {y^2}} dy} $
Đặt y = bsint , t [$\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}$] → dy = bcostdt
Đổi cận: x = - b → t = - π/2
x = b → t = π/2
Khi đó: $V = 4\pi a\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{b^2}{{\cos }^2}tdt} = 2\pi a{b^2}\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2t)dt} = \left. {2\pi a{b^2}(t + \frac{1}{2}\sin 2t)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 2{\pi ^2}a{b^2}\left( {dvtt} \right)$
Ta có: (x - a) $^2$ + y$^2$ = b$^2$ → $\left[ \begin{array}{l}
x = a + \sqrt {{b^2} - {y^2}} \\
x = a - \sqrt {{b^2} - {y^2}}
\end{array} \right.$
Thể tích cần tính: $V = \pi \int\limits_{ - b}^b {\left[ {{{(a + \sqrt {{b^2} - {y^2}} )}^2} - {{(a - \sqrt {{b^2} - {y^2}} )}^2}} \right]dy} = 4\pi a\int\limits_{ - b}^b {\sqrt {{b^2} - {y^2}} dy} $
Đặt y = bsint , t [$\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}$] → dy = bcostdt
Đổi cận: x = - b → t = - π/2
x = b → t = π/2
Khi đó: $V = 4\pi a\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{b^2}{{\cos }^2}tdt} = 2\pi a{b^2}\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2t)dt} = \left. {2\pi a{b^2}(t + \frac{1}{2}\sin 2t)} \right|_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 2{\pi ^2}a{b^2}\left( {dvtt} \right)$
Last edited by a moderator:
