Phương pháp giải toán:
+ Để chứng minh bất đẳng thức ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si.
+ Khi gặp bất đẳng thức có dạng $x+y+z$ $\ge a+b+c$ (hoặc $xyz$ $\ge abc$), ta thường đi chứng minh $x+y$ $\ge 2a$ (hoặc $ab$ $\le {{x}^{2}}$), xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng (hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.
+ Khi tách và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).
Ví dụ 5. Cho $a$, $b$, $c$ là số dương. Chứng minh rằng:
a) $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c.$
b) $\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}$ $\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}$ $\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b.$
Tương tự ta có: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2c$, $\frac{ac}{b}+\frac{ba}{c}\ge 2a.$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
$2\left( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b} \right)$ $\ge 2\left( a+b+c \right)$ $\Leftrightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$ $\ge a+b+c.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{a}$ $\ge 2\sqrt{\frac{a}{{{b}^{2}}}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}.$
Tương tự ta có: $\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{c}$, $\frac{c}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{a}.$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\ge \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}$ $\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
Ví dụ 6. Cho $a,b,c$ dương sao cho ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}\ge 3abc.$
b) $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge 3.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}$ $\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}.\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}}=2{{b}^{3}}ac.$
Tương tự ta có: $\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}\ge 2ab{{c}^{3}}$, $\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}+\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}\ge 2{{a}^{3}}bc.$
Cộng vế với vế ta có $2\left( \frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b} \right)$ $\ge 2abc\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}\ge 3abc.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
b) Bất đẳng thức tương đương với: ${{\left( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 9$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}$ $+2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 9$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 3.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: ${{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}$ $\ge 2\sqrt{{{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}}=2{{b}^{2}}.$
Tương tự ta có: ${{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 2{{c}^{2}}$, ${{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}\ge 2{{\text{a}}^{2}}.$
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: ${{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 3.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
Ví dụ 7. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
a) $8\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ $\le \left( 3+a \right)\left( 3+b \right)\left( 3+c \right).$
b) $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le abc.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\left( a+b \right)\left( b+c \right)$ $\le {{\left( \frac{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)}{2} \right)}^{2}}$ $=\frac{{{\left( 3+a \right)}^{2}}}{4}.$
Tương tự ta có: $\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ $\le \frac{{{\left( 3+c \right)}^{2}}}{4}$, $\left( c+a \right)\left( a+b \right)$ $\le \frac{{{\left( 3+a \right)}^{2}}}{4}.$
Nhân vế với vế lại ta được: ${{\left[ \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right) \right]}^{2}}$ $\le 64{{\left[ \left( 3+a \right)\left( 3+b \right)\left( 3+c \right) \right]}^{2}}.$
Suy ra $8\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ $\le \left( 3+a \right)\left( 3+b \right)\left( 3+c \right).$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
b)
Trường hợp 1: Với $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le 0$: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Trường hợp 2: Với $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)>0$:
+ Nếu cả ba số $\left( 3-2a \right)$, $\left( 3-2b \right)$, $\left( 3-2c \right)$ đều dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)$ $\le {{\left( \frac{\left( 3-2a \right)+\left( 3-2b \right)}{2} \right)}^{2}}={{c}^{2}}.$
Tương tự, ta có: $\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le {{a}^{2}}$, $\left( 3-2c \right)\left( 3-2a \right)\le {{b}^{2}}.$
Nhân vế với vế ta được ${{\left[ \left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right) \right]}^{2}}$ $\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}.$
Hay $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le abc.$
+ Nếu hai trong ba số $\left( 3-2a \right)$, $\left( 3-2b \right)$, $\left( 3-2c \right)$ âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử $3-2a<0$, $3-2b<0$ suy ra $6-2a-2b<0$ $\Leftrightarrow c<0$ (không xảy ra).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1.$
Ví dụ 8. Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}$ $\ge \frac{a+b+c}{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương, ta có: $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{b+c}{4}$ $\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a.$
Tương tự ta có: $\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b$, $\frac{{{c}^{2}}}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c.$
Cộng ba bất đẳng thức này lại với nhau ta đươc: $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}$ $\ge a+b+c$ $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}$ $\ge \frac{a+b+c}{2}.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$
Lưu ý: Việc ta ghép $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{b+c}{4}$ và đánh giá như trên là vì những lí do sau:
+ Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại lượng $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}$ khi đó ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho đại lượng đó với một đại lượng chứa $b+c.$
+ Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở bất đẳng thức Cô-si là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ khi đó $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{a}{2}$ và $b+c=2a$ do đó ta ghép như trên.
Ví dụ 9. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+3$ $\ge 2\left( a+b+c \right).$
Ta có $\left[ \left( a-1 \right)\left( b-1 \right) \right]$$\left[ \left( b-1 \right)\left( c-1 \right) \right]\left[ \left( c-1 \right)\left( a-1 \right) \right]$ $={{\left( a-1 \right)}^{2}}{{\left( b-1 \right)}^{2}}{{\left( c-1 \right)}^{2}}\ge 0.$
Do đó không mất tính tổng quát giả sử $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow ab+1\ge a+b$ $\Leftrightarrow 2\left( ab+c+1 \right)$ $\ge 2\left( a+b+c \right).$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+3$ $\ge 2\left( ab+c+1 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+1$ $\ge 2\left( ab+c \right).$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\ge \frac{2}{ab}=2c$, $\frac{1}{{{c}^{2}}}+1\ge \frac{2}{c}=2ab$ (do $abc=1$).
Cộng vế với vế ta được $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+1$ $\ge 2\left( ab+c \right).$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1.$
Ví dụ 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) $f(x)=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x-2}$ với $x>2.$
b) $g(x)=2x+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ với $x>-1.$
c) $h\left( x \right)=x+\frac{3}{x}$ với $x\ge 2.$
d) $k\left( x \right)=2x+\frac{1}{{{x}^{2}}}$ với $0<x\le \frac{1}{2}.$
a) Ta có $f(x)$ $=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x-2}$ $=x-2+\frac{1}{x-2}+2.$
Do $x>2$ nên $x-2>0$, $\frac{1}{x-2}>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $x-2+\frac{1}{x-2}$ $\ge 2\sqrt{\left( x-2 \right).\frac{1}{x-2}}=2.$
Suy ra $f\left( x \right)\ge 4.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x-2=\frac{1}{x-2}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow x=1$ (loại) hoặc $x=3$ (thỏa mãn).
Vậy $\min f\left( x \right)=4$ khi và chỉ khi $x=3.$
b) Do $x>-1$ nên $x+1>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$g(x)$ $=\left( x+1 \right)+\left( x+1 \right)+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-2$ $\ge 3\sqrt[3]{\left( x+1 \right).\left( x+1 \right).\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}-2=1.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x+1=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}=1$ $\Leftrightarrow x=0$ (thỏa mãn).
Vậy $\min g\left( x \right)=1$ khi và chỉ khi $x=0.$
c) Ta có $h\left( x \right)=\left( \frac{3}{x}+\frac{3x}{4} \right)+\frac{x}{4}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có $\frac{3}{x}+\frac{3x}{4}$ $\ge 2\sqrt{\frac{3}{x}.\frac{3x}{4}}=3.$
Mặt khác $x\ge 2$ suy ra $h\left( x \right)=\left( \frac{3}{x}+\frac{3x}{4} \right)+\frac{x}{4}$ $\ge 3+\frac{2}{4}=\frac{7}{2}.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{3}{x}=\frac{3x}{4} \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=2.$
Vậy $\min h\left( x \right)=\frac{7}{2}$ khi và chỉ khi $x=2.$
d) Ta có $k\left( x \right)=x+x+\frac{1}{8{{x}^{2}}}+\frac{7}{8{{x}^{2}}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $x+x+\frac{1}{8{{x}^{2}}}$ $\ge 3\sqrt[3]{x.x.\frac{1}{8{{x}^{2}}}}=\frac{3}{2}.$
Mặt khác $0<x\le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{7}{8{{x}^{2}}}$ $\ge \frac{7}{2}$ suy ra $k\left( x \right)$ $\ge \frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\frac{1}{8{{x}^{2}}} \\
x=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$
Vậy $\min k\left( x \right)=5$ khi và chỉ khi $x=\frac{1}{2}.$
+ Để chứng minh bất đẳng thức ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si.
+ Khi gặp bất đẳng thức có dạng $x+y+z$ $\ge a+b+c$ (hoặc $xyz$ $\ge abc$), ta thường đi chứng minh $x+y$ $\ge 2a$ (hoặc $ab$ $\le {{x}^{2}}$), xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng (hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.
+ Khi tách và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).
Ví dụ 5. Cho $a$, $b$, $c$ là số dương. Chứng minh rằng:
a) $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c.$
b) $\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}$ $\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}$ $\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b.$
Tương tự ta có: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2c$, $\frac{ac}{b}+\frac{ba}{c}\ge 2a.$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
$2\left( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b} \right)$ $\ge 2\left( a+b+c \right)$ $\Leftrightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$ $\ge a+b+c.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{a}$ $\ge 2\sqrt{\frac{a}{{{b}^{2}}}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}.$
Tương tự ta có: $\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{c}$, $\frac{c}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{a}.$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\ge \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ $\Leftrightarrow \frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}$ $\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
Ví dụ 6. Cho $a,b,c$ dương sao cho ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}\ge 3abc.$
b) $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge 3.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}$ $\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}.\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}}=2{{b}^{3}}ac.$
Tương tự ta có: $\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}\ge 2ab{{c}^{3}}$, $\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}+\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}\ge 2{{a}^{3}}bc.$
Cộng vế với vế ta có $2\left( \frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b} \right)$ $\ge 2abc\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{b}^{3}}{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{b}\ge 3abc.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
b) Bất đẳng thức tương đương với: ${{\left( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 9$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}$ $+2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 9$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 3.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: ${{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}$ $\ge 2\sqrt{{{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}}=2{{b}^{2}}.$
Tương tự ta có: ${{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 2{{c}^{2}}$, ${{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}\ge 2{{\text{a}}^{2}}.$
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: ${{\left( \frac{ab}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{bc}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{ca}{b} \right)}^{2}}\ge 3.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
Ví dụ 7. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
a) $8\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ $\le \left( 3+a \right)\left( 3+b \right)\left( 3+c \right).$
b) $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le abc.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\left( a+b \right)\left( b+c \right)$ $\le {{\left( \frac{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)}{2} \right)}^{2}}$ $=\frac{{{\left( 3+a \right)}^{2}}}{4}.$
Tương tự ta có: $\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ $\le \frac{{{\left( 3+c \right)}^{2}}}{4}$, $\left( c+a \right)\left( a+b \right)$ $\le \frac{{{\left( 3+a \right)}^{2}}}{4}.$
Nhân vế với vế lại ta được: ${{\left[ \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right) \right]}^{2}}$ $\le 64{{\left[ \left( 3+a \right)\left( 3+b \right)\left( 3+c \right) \right]}^{2}}.$
Suy ra $8\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ $\le \left( 3+a \right)\left( 3+b \right)\left( 3+c \right).$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
b)
Trường hợp 1: Với $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le 0$: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Trường hợp 2: Với $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)>0$:
+ Nếu cả ba số $\left( 3-2a \right)$, $\left( 3-2b \right)$, $\left( 3-2c \right)$ đều dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)$ $\le {{\left( \frac{\left( 3-2a \right)+\left( 3-2b \right)}{2} \right)}^{2}}={{c}^{2}}.$
Tương tự, ta có: $\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le {{a}^{2}}$, $\left( 3-2c \right)\left( 3-2a \right)\le {{b}^{2}}.$
Nhân vế với vế ta được ${{\left[ \left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right) \right]}^{2}}$ $\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}.$
Hay $\left( 3-2a \right)\left( 3-2b \right)\left( 3-2c \right)\le abc.$
+ Nếu hai trong ba số $\left( 3-2a \right)$, $\left( 3-2b \right)$, $\left( 3-2c \right)$ âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử $3-2a<0$, $3-2b<0$ suy ra $6-2a-2b<0$ $\Leftrightarrow c<0$ (không xảy ra).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1.$
Ví dụ 8. Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}$ $\ge \frac{a+b+c}{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương, ta có: $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{b+c}{4}$ $\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a.$
Tương tự ta có: $\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b$, $\frac{{{c}^{2}}}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c.$
Cộng ba bất đẳng thức này lại với nhau ta đươc: $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}$ $\ge a+b+c$ $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}$ $\ge \frac{a+b+c}{2}.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$
Lưu ý: Việc ta ghép $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{b+c}{4}$ và đánh giá như trên là vì những lí do sau:
+ Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại lượng $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}$ khi đó ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho đại lượng đó với một đại lượng chứa $b+c.$
+ Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở bất đẳng thức Cô-si là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ khi đó $\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{a}{2}$ và $b+c=2a$ do đó ta ghép như trên.
Ví dụ 9. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+3$ $\ge 2\left( a+b+c \right).$
Ta có $\left[ \left( a-1 \right)\left( b-1 \right) \right]$$\left[ \left( b-1 \right)\left( c-1 \right) \right]\left[ \left( c-1 \right)\left( a-1 \right) \right]$ $={{\left( a-1 \right)}^{2}}{{\left( b-1 \right)}^{2}}{{\left( c-1 \right)}^{2}}\ge 0.$
Do đó không mất tính tổng quát giả sử $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow ab+1\ge a+b$ $\Leftrightarrow 2\left( ab+c+1 \right)$ $\ge 2\left( a+b+c \right).$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+3$ $\ge 2\left( ab+c+1 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+1$ $\ge 2\left( ab+c \right).$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\ge \frac{2}{ab}=2c$, $\frac{1}{{{c}^{2}}}+1\ge \frac{2}{c}=2ab$ (do $abc=1$).
Cộng vế với vế ta được $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+1$ $\ge 2\left( ab+c \right).$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1.$
Ví dụ 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) $f(x)=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x-2}$ với $x>2.$
b) $g(x)=2x+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ với $x>-1.$
c) $h\left( x \right)=x+\frac{3}{x}$ với $x\ge 2.$
d) $k\left( x \right)=2x+\frac{1}{{{x}^{2}}}$ với $0<x\le \frac{1}{2}.$
a) Ta có $f(x)$ $=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x-2}$ $=x-2+\frac{1}{x-2}+2.$
Do $x>2$ nên $x-2>0$, $\frac{1}{x-2}>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $x-2+\frac{1}{x-2}$ $\ge 2\sqrt{\left( x-2 \right).\frac{1}{x-2}}=2.$
Suy ra $f\left( x \right)\ge 4.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x-2=\frac{1}{x-2}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow x=1$ (loại) hoặc $x=3$ (thỏa mãn).
Vậy $\min f\left( x \right)=4$ khi và chỉ khi $x=3.$
b) Do $x>-1$ nên $x+1>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$g(x)$ $=\left( x+1 \right)+\left( x+1 \right)+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-2$ $\ge 3\sqrt[3]{\left( x+1 \right).\left( x+1 \right).\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}-2=1.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x+1=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}=1$ $\Leftrightarrow x=0$ (thỏa mãn).
Vậy $\min g\left( x \right)=1$ khi và chỉ khi $x=0.$
c) Ta có $h\left( x \right)=\left( \frac{3}{x}+\frac{3x}{4} \right)+\frac{x}{4}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có $\frac{3}{x}+\frac{3x}{4}$ $\ge 2\sqrt{\frac{3}{x}.\frac{3x}{4}}=3.$
Mặt khác $x\ge 2$ suy ra $h\left( x \right)=\left( \frac{3}{x}+\frac{3x}{4} \right)+\frac{x}{4}$ $\ge 3+\frac{2}{4}=\frac{7}{2}.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{3}{x}=\frac{3x}{4} \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=2.$
Vậy $\min h\left( x \right)=\frac{7}{2}$ khi và chỉ khi $x=2.$
d) Ta có $k\left( x \right)=x+x+\frac{1}{8{{x}^{2}}}+\frac{7}{8{{x}^{2}}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $x+x+\frac{1}{8{{x}^{2}}}$ $\ge 3\sqrt[3]{x.x.\frac{1}{8{{x}^{2}}}}=\frac{3}{2}.$
Mặt khác $0<x\le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{7}{8{{x}^{2}}}$ $\ge \frac{7}{2}$ suy ra $k\left( x \right)$ $\ge \frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\frac{1}{8{{x}^{2}}} \\
x=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$
Vậy $\min k\left( x \right)=5$ khi và chỉ khi $x=\frac{1}{2}.$
