1. Một số kiến thức bổ trợ :
a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết:
a.1.Một số công thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: $V = {a^3}$
Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
- Thể tích khối lăng trụ: V = Bh Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
- Thể tích của khối chóp: $V = \frac{1}{3}.B.h$ Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có: $\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}$
- Diện tích xung quanh hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi R\ell $ ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = $\pi .{R^2}.h$ ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: ${S_{Xq}} = \pi .R\ell $
- Thể tích khối nón: V = $\frac{1}{3}.\pi .{R^2}.h$
- Diện tích mặt cầu: S = $4.\pi .{R^2}$
- Thể tích khối cầu: V = $\frac{4}{3}\pi .{R^3}$
a.2.Một số kiến thức bổ trợ:
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: $h = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ Diện tích : $S = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
+ Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo ${\rm{AC = a}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{2}} $ Diện tích $S = {a^2}$.
+ Công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}.a.{h_a} = \frac{1}{2}.a.b.\sin C$.
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).
• Nếu d ⊥ (P) thì $\widehat {(d,(P))} = {90^0}$
• Nếu không vuông góc với (P) thì
- Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P) .
Khi đó : $\widehat {(d,(P))} = \widehat {(d,d')} = \alpha $
+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
$\left\{ \begin{array}{l}
\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\
a \subset \left( P \right),a \bot d\\
b \subset \left( P \right),b \bot d\\
a \subset b = I \in d
\end{array} \right. \to \widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.
Giải:
Chiều cao: $h = 3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}$
Diện tích : $S = {\left( {3a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh $5a\sqrt 6 $. Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD.
Giải:
Ta có : $AC = 5a\sqrt 6 .\sqrt 2 = 10a\sqrt 3 $ và ${S_{ABCD}} = {\left( {5a\sqrt 6 } \right)^2} = 150{a^2}$
Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và ${\rm{AC = a}}\sqrt {\rm{7}} ,$ BC = 5a.
Giải:
Ta có: $AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{(5a)}^2} - {{(a\sqrt 7 )}^2}} = \sqrt {18{a^2}} = 3a\sqrt 2 $
Khi đó:
Diện tích tam giác ABC là
${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.a\sqrt 7 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt {14} }}{2}$ (đvdt)
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết ${\rm{AB = 5a,BC = 2a}}\sqrt {\rm{3}} ,\widehat {ABC} = {60^0}$.
Giải
Diện tích tam giác ABC là
${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5a.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15{a^2}}}{2}$ (đvdt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD).
a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) .
b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC .
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng ⊥(ABC).Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N.Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN .
a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết:
a.1.Một số công thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: $V = {a^3}$
Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
- Thể tích khối lăng trụ: V = Bh Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
- Thể tích của khối chóp: $V = \frac{1}{3}.B.h$ Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có: $\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}$
- Diện tích xung quanh hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi R\ell $ ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = $\pi .{R^2}.h$ ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: ${S_{Xq}} = \pi .R\ell $
- Thể tích khối nón: V = $\frac{1}{3}.\pi .{R^2}.h$
- Diện tích mặt cầu: S = $4.\pi .{R^2}$
- Thể tích khối cầu: V = $\frac{4}{3}\pi .{R^3}$
a.2.Một số kiến thức bổ trợ:
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: $h = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ Diện tích : $S = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
+ Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo ${\rm{AC = a}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{2}} $ Diện tích $S = {a^2}$.
+ Công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}.a.{h_a} = \frac{1}{2}.a.b.\sin C$.
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).
• Nếu d ⊥ (P) thì $\widehat {(d,(P))} = {90^0}$
• Nếu không vuông góc với (P) thì
- Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P) .
Khi đó : $\widehat {(d,(P))} = \widehat {(d,d')} = \alpha $
+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
$\left\{ \begin{array}{l}
\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\
a \subset \left( P \right),a \bot d\\
b \subset \left( P \right),b \bot d\\
a \subset b = I \in d
\end{array} \right. \to \widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.
Giải:
Chiều cao: $h = 3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}$
Diện tích : $S = {\left( {3a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh $5a\sqrt 6 $. Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD.
Giải:
Ta có : $AC = 5a\sqrt 6 .\sqrt 2 = 10a\sqrt 3 $ và ${S_{ABCD}} = {\left( {5a\sqrt 6 } \right)^2} = 150{a^2}$
Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và ${\rm{AC = a}}\sqrt {\rm{7}} ,$ BC = 5a.
Giải:
Ta có: $AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{(5a)}^2} - {{(a\sqrt 7 )}^2}} = \sqrt {18{a^2}} = 3a\sqrt 2 $
Khi đó:
Diện tích tam giác ABC là
${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.a\sqrt 7 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt {14} }}{2}$ (đvdt)
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết ${\rm{AB = 5a,BC = 2a}}\sqrt {\rm{3}} ,\widehat {ABC} = {60^0}$.
Giải
Diện tích tam giác ABC là
${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5a.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15{a^2}}}{2}$ (đvdt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD).
a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) .
b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC .
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng ⊥(ABC).Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N.Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN .
Chỉnh sửa cuối:
