Khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Toán THPT, đặc biệt quan trọng khi học sinh bắt đầu làm quen với các dạng đồ thị hàm số phức tạp hơn. Loại hàm này thường xuất hiện trong các bài tập về giới hạn, khảo sát sự biến thiên, tìm tiệm cận cũng như trong nhiều bài toán ứng dụng thực tế. Tuy công thức của hàm bậc nhất trên bậc nhất có dạng đơn giản, nhưng để khảo sát trọn vẹn – từ xác định miền xác định, xét chiều biến thiên, tìm tiệm cận đến vẽ đồ thị – người học cần nắm vững quy trình và các tính chất đặc biệt của dạng hàm này.
Trong bài viết, chúng ta sẽ cùng đi qua từng bước quan trọng để khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất một cách rõ ràng và khoa học, giúp bạn dễ dàng nhận diện dạng bài, giải nhanh – đúng và biết cách trình bày bài làm sao cho đạt điểm tối đa. Đây sẽ là tài liệu hữu ích cho học sinh ôn thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT hoặc củng cố kiến thức nền tảng về hàm số.
Hàm số bậc nhất trên bậc nhất: $y = \frac{{{\rm{a}}x + b}}{{cx + d}}$ ( tử và mẫu không có nghiệm chung)
Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng ).
Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”
Bước 5:luôn không có cực trị
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:
Bước 2: y’ = $\frac{{ - 3}}{{{{(x + 1)}^2}}}$< 0 ∀x∈D.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Bước 3: Giới hạn và tiệm cận:
Tiệm cận đứng x = - 1 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty $
Tiệm cận ngang: y = - 1 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 1$
Bước 4:
Bước 5:
Hàm số không có cực trị
Bước 6: Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox: y = 0 →x = 2
Giao điểm với Oy: x = 0 →y = 2
Trong bài viết, chúng ta sẽ cùng đi qua từng bước quan trọng để khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất một cách rõ ràng và khoa học, giúp bạn dễ dàng nhận diện dạng bài, giải nhanh – đúng và biết cách trình bày bài làm sao cho đạt điểm tối đa. Đây sẽ là tài liệu hữu ích cho học sinh ôn thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT hoặc củng cố kiến thức nền tảng về hàm số.
Hàm số bậc nhất trên bậc nhất: $y = \frac{{{\rm{a}}x + b}}{{cx + d}}$ ( tử và mẫu không có nghiệm chung)
1. Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm sốBước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng ).
Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”
Bước 5:luôn không có cực trị
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy.
- Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang.
- Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)
2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số $y = \frac{{ - x + 2}}{{x + 1}}$Giải
Bước 1: Tập xác định D = R \{-1}Bước 2: y’ = $\frac{{ - 3}}{{{{(x + 1)}^2}}}$< 0 ∀x∈D.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Bước 3: Giới hạn và tiệm cận:
Tiệm cận đứng x = - 1 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty $
Tiệm cận ngang: y = - 1 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 1$
Bước 4:
Bước 5:
Hàm số không có cực trị
Bước 6: Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox: y = 0 →x = 2
Giao điểm với Oy: x = 0 →y = 2
3. Bài tập có lời giải
Bài tập 1: [chuyên sư phạm hà nội] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x+1}$Giải
Last edited by a moderator:
