Định nghĩa và tính chất nguyên hàm

Ta có \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} dx = \left( {\frac{{4 + 2}}{2}.1} \right) - \left( {\frac{{1 + 2}}{2}.1} \right) = \frac{5}{2}\) (bằng diện tích hình thang trên trục hoành trừ diện tích hình thang phía dưới trục hoành).

 

Xét tích phân: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} \)
Đặt \(v = 2u \Rightarrow dv = 2du;\,\,u = 0 \Rightarrow v = 0;u = 1 \Rightarrow v = 2\)
Vậy: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(v)dv} = 1 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(v)dv} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 2\)
Xét tích phân: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3\)
Đặt: \(v = \frac{t}{2} \Rightarrow dv = \frac{1}{2}dt;\,\,t = 2 \Rightarrow v = 1;t = 4 \Rightarrow v = 2\)
Vậy: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 2\int\limits_1^2 {f(v)dv} = 3 \Rightarrow \int\limits_1^2 {f(v)dv} = \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{3}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} - \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

 

Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 3,t = 6\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt} = 10 \Rightarrow \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = 20\)
Đặt: \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = 2,t = 6\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^6 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt + \int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt} } } \right]\)
Suy ra: \(\frac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} } \right] = \frac{1}{3}\left( { - 2 + 20} \right) = 6\)

 

Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - 5 + 7 = 2.\)

 

Với mệnh đề A: Đây là mệnh đề đúng, vì ta đã học công thức tính nguyên hàm và có là cộng thêm hằng số C. Mỗi biểu thức với C khác nhau sẽ là một nguyên hàm của hàm số đã cho.
Với mệnh đề B: Đây là mệnh đề đúng, với hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên K thì sẽ có nguyên hàm trên K.
Với mệnh đề C: Ta nhận thấy \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\) khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Vậy C chính là mệnh đề sai.

 

Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}} dx\)

 

Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,t = 1}\\{x = 1,t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} \) \( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx\)
Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{2}{3} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{1}{3}.\)

 

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {e^a},t = a}\\{x = {e^b},t = b}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \int\limits_a^b {\frac{1}{t}dt} = \int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx} = 2.\)

 

Ta có \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) = 1 + F\left( { - 1} \right) = 0.\)

 

Ta có \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]} {\rm{d}}x = 3\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 2\int\limits_1^2 {{\rm{d}}x} = 3.2 - 2\left. x \right|\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array} = 6 - 2 = 4\).

 

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 4 \right) - f\left( { - 1} \right) = 2016 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = f\left( 4 \right) - 2016 = 1.\)

 

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 3g(x)} \right]dx = 10} }\\ {\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) - g(x)} \right]dx = 6} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {f(x)dx} + 3\int\limits_1^3 {g(x)dx} = 10}\\ {2\int\limits_1^3 {f(x)dx} - \int\limits_1^3 {g(x)dx} = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 4}\\ {\int\limits_1^3 {g(x)dx} = 2} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {g(x)dx} = 6\)

 

Ta có: \(F\left( x \right) = 3{x^4} + \sin x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x.\)

 

Ta có: \(\left( {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right)' = \frac{1}{2}.(2x)'.{e^{2x}} = {e^{2x}}.\)
Vậy A là phương án đúng.

 

Ta có \({3^x} - 9 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) .
Vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx + \int\limits_2^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\)\(= \int\limits_0^2 {\left( {9 - {3^x}} \right)} dx + \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx}\) .
Vậy I sai, II đúng và III sai.

 

Phương án A, B, D là các tính chất của nguyên hàm đã được học trong chương trình phổ thông.
Phương án C sai: không có tính chất nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm của từng thừa số.

 

Chọn B.

 

\(\left( {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 1} } \right)' = \frac{{5a{x^2} + ( - 2a + 3b)x - b + c}}{{\sqrt {2x - 1} }} = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1\\ c = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 2.\)

 

Ta có
\(I = \int\limits_5^3 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_5^1 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = - \int\limits_1^5 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}\)\(= - 4 + 3 = - 1\)

 

Ta có: a<b<c suy ra:
\(\begin{array}{l} \int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx} . \end{array}\)
Từ đó ta thấy B là mệnh đề sai.

 

Đặt \(t=4x\) suy ra \(dt=4dx\)
Đổi cận với \(x=0\) thì \(\dpi{100} t=0;x=1\) thì \(t=4\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( {4x} \right)} dx = \frac{1}{4}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)} dt = \frac{1}{4}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = - \frac{1}{4}\)vì tích phân không phụ thuộc vào biến số.