Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 1)

Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\)
B. \(F(x) = - 2{\cos ^2}x\)
C. \(F(x) = - 1 - \cos 2x\)
D. \(F(x) = - 1 - 2\cos x\sin x\)

 

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {2{e^x} + 1} \right)\) biết \(F(0)=1.\)
A. \(F\left( x \right) = 2x + {e^{ - x}}.\)
B. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\)
C. \(F\left( x \right) = 2 + {e^{ - x}}.\)
D. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 1.\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}.\)
A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \sin x + C.}\)
B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.}\)
C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = -\sin x + C.}\)
D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cos 2x + C}\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\cos 2x + C\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số y = \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}.
A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{2}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

 

Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\) Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0.\)
A. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\)
B. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\)
C. \(F(x) = - \sqrt 3 - \cot x\)
D. \(F(x) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\)

 

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{{4^x}.\ln 4}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = {4^x} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = {4^x}.\ln 4 + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\)

 

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\sqrt {2x + 1} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = 2\sqrt {2x + 1} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \sqrt {2x + 1} + C\)

 

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {1000^x}\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = {1000^x} + C\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f(x) = {\cos ^3}x.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x}}{x} + C.\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right) + C.\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{12}}\sin 3x - \frac{3}{4}\sin x + C.\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x.\sin x}}{4} + C.\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.
A. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C.\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C.\)
D. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)

 

Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\)?
A. \(F\left( x \right) = \ln \left| {2x + 1} \right| + 1.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {4x + 2} \right| + 3.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + 3\).

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}\).
A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} + C} .\)
B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\tan 2x + C} .\)
C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\tan 2x + C} .\)
D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{\cos x}} + C} .\)

 

Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \sin \left( {1 - 2x} \right)\) trên đoạn \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{3}{2}\)
B. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right)\)
C. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right) + 1\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}.\)
A. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\)
B. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C}\)
C. \(\int {{e^{2x}}dx = {e^{2x}} + C}\)
D. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{{2x + 1}}} + C\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x - \sin 2x.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + C\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x - 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
C. \(F\left( x \right) = - \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)

 

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right)\)và \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1.\) Tính F(0)?
A. \(F(0) = 1.\)
B. \(F(0) = 2.\)
C. \(F(0) = 0.\)
D. \(F(0) = - 1.\)

 

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x\), biết rằng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\pi .\)
A. \(F\left( x \right) = \sin x + 2\pi \)
B. \(F\left( x \right) = 2x + 2\pi \)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2\pi \)
D. \(F\left( x \right) = x + \sin 2x + \frac{{3\pi }}{2}\)

 

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2{\rm{x}}}}?\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}}}} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}}\ln 2 + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2{e^{2{\rm{x}}}} + C.\)