Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 1)

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Doremon, 13/12/14.

  1. Beck_tran

    Beck_tran Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/11/17
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 3\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 1\) (với \(a,b,c \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c\).
    A. \(P = - \frac{{25}}{6}\)
    B. \(P = - \frac{{13}}{6}\)
    C. \(P = \frac{{23}}{6}\)
    D. \(P = \frac{{35}}{6}\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^1 = - 2\\\int\limits_0^2 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^2 = - 3\\\int\limits_0^3 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - 2\\\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 3\\9a + \frac{9}{2}b + 3c = 1\end{array} \right.\)
      \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2,b = - 3\\c = - \frac{7}{6}\end{array} \right. \Rightarrow P = - \frac{{13}}{6}.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  2. BenLord

    BenLord Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    29/8/16
    Bài viết:
    12
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right..\) Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
    A. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\)
    B. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{2}\)
    C. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{5}{2}\)
    D. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {dx} + \int\limits_0^2 {x\,dx} = x\left| {\mathop {}\limits_0^1 + \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\mathop {}\limits_1^2 = \frac{5}{2}} \right.} \right..\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  3. Châu chấu

    Châu chấu Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    29/10/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Cho \(\int {f(x)d{\rm{x}} = 2{{\rm{x}}^3} - 3{\rm{x}} + C} \). Tìm hàm số \(F(x) = \int {f({\mathop{\rm sinx}\nolimits} )dx.} \)
    A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x - 3\sin x + C\)
    B. \(F(x) = x - \frac{1}{2}\sin 2x + 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + C\)
    C. \(F\left( x \right) = - 4cosx + 3cosx + C.\)
    D. \(F\left( x \right) = - 4cosx--3x + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(f\left( x \right) = {\left( {2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + C} \right)^\prime } = 4{\rm{x}} - 3 \Rightarrow f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) = 4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3\)
      Do đó: \(\int {f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3} \right)d{\rm{x}}} = - 4\cos x - 3x.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  4. Ng Vanh

    Ng Vanh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    26/7/17
    Bài viết:
    15
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Biết \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 + d\ln 7\) với a, b, c, d là các số nguyên. Tính \(P = ab + cd\)
    A. \(P = - 5.\)
    B. \(P = 5.\)
    C. \(P = - 4.\)
    D. \(P = 2.\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = \int\limits_4^5 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_4^5 = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5 - \ln 7} \).
      Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 2\\c = d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow P = ab + cd = 5\).
       
      Minh Toán, 5/12/17
  5. Kha Nguyễn

    Kha Nguyễn Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    12/10/17
    Bài viết:
    17
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm \(\alpha \) để \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)} dx \ge 0.\)
    A. \( - 1 \le \alpha < 0\)
    B. \(\alpha \le - 1\)
    C. \(\alpha \le - 3\)
    D. \(\alpha = - 5\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(t = - x \Rightarrow dt = - dx. \)
      Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \alpha \Rightarrow t = - \alpha \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
      Ta có:
      \(\begin{array}{l}\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} = - \int\limits_{ - \alpha }^0 {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} \\ = \int\limits_0^{ - \alpha } {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} = \int\limits_0^{ - \alpha } {{3^{2t}}dt} - 2.\int\limits_0^{ - \alpha } {{3^t}dt} \\ = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{3^{2t}}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } - 2.\left. {\frac{{{3^t}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } = \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right)\end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
    2. Minh Toán
      Theo đề bài ta có:
      \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {3^{ - 2\alpha }} - {4.3^{ - \alpha }} + 3 \ge 0\)
      Đặt: \(t = {3^{ - \alpha }},t > 0\) Bất phương trình trở thành:
      \({t^2} - 4t + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \ge 3\\ t \le 1 \end{array} \right.\)
      \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < t \le 1}\\{t \ge 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \le 1}\\{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha \ge 0}\\{\alpha \le - 1}\end{array}} \right.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17

Chia sẻ trang này