Bài tập trắc nghiệm hình lăng trụ

Gọi H là hình chiếu của A trên \(BC \Rightarrow AH \bot BC.\)
Ta có \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot BC\)và \(AH \bot BC \Rightarrow BC \bot (A'AH)\)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (A'AH) = AH\\(A'BC) \cap (A'AH) = A'H\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {((ABC);(A'BC))} = \widehat {A'HA} = {60^0}.\)
Diện tích \(\Delta A'BC\) là \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}.A'H.BC \Rightarrow A'H = \frac{{2.{S_{\Delta A'BC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{{2a}} = 2a.\)
Xét \(\Delta A'AH\) vuông tại A, có \(\sin \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{A'H}} \Rightarrow AA' = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 .\)
Và \(AH = \sqrt {A'{H^2} - A'{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = {a^3}.\)
Vậy thể tích lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.a{}^2\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 .\)

 

Ta có \(CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 3a\sqrt 2 \)
Gọi O là giao điểm của B’C va BC’.
Khi đó: \(CM = CO + OM = \frac{1}{2}CB' + \frac{1}{3}OB' = \frac{1}{2}CB' + \frac{1}{2}.\frac{1}{3}CB' = \frac{2}{3}CB'\)
Ta kẻ MH vuông góc với CB. Khi đó
\(\Delta CHM \sim \Delta CBB' \Rightarrow \frac{{HM}}{{BB'}} = \frac{{CM}}{{CB'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HM = \frac{2}{3}BB' = 4a\)
Diện tích tam giacs CMB là: \({S_{\Delta CMB}} = \frac{1}{2}CB.HM = \frac{1}{2}.3a.\sqrt 2 .4a = 6{a^2}\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {V_{A.BCM}} = \frac{1}{3}.AB.{S_{\Delta CMB}} = \frac{1}{3}.3a.6{a^2}\sqrt 2 = 6{a^3}\sqrt 2 .\)

 

Ta có: \(BB' = \sqrt {AB{'^2} - A{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4 \Rightarrow V = BB'.{S_{ABC{\rm{D}}}} = {4.3^2} = 36.\)

 

Ta có \(d\left( {I;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = a\sqrt 3 \)
Kẻ \(AP \bot BC\left( {P \in BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AP \Rightarrow AP = a\sqrt 3 \)
Lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C' \Rightarrow A'A \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) đểu
\( \Rightarrow \sin {60^0} = \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \frac{{2AP}}{{\sqrt 3 }} = 2a\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = A'A.\frac{1}{2}A{B^2}\sin {60^0} = 3{a^3}\)

 

Ta có \(V = S.h = 2{a^2}.2a = 4{a^3}\).

 

Gọi K là trung điểm của CD. Khi đó: \({S_{xq}} = 4{S_{SC{\rm{D}}}};\,\,{S_d} = {x^2}.\)
Khi đó: \(4.\frac{1}{2}SK.x = 2{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow SK = x \Rightarrow SH = \sqrt {S{K^2} - H{K^2}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\)
\(Suy\,\,ra\,\,{V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2}.{x^2} = \frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

 

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.a.a.\sin {60^0} = \frac{1}{4}.{a^2}\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA'\)
\( = \frac{1}{4}{a^2}\sqrt 3 .a = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)

 

Gọi h là chiều cao của lăng trụ, S là diện tích đáy của lăng trụ.
Ta có: \({S_{IJK}} = {S_{A'B'C'}} = S;\,\,CK = \frac{1}{2}CC' = \frac{h}{2}.\)
Thể tích của khối tứ diện CIJK là \(V = \frac{1}{3}S.\frac{h}{2} = \frac{{30}}{6} = 5.\)

 

Ta có: \({S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}} = 3.2a.AA' = 6\sqrt 3 {a^2} \Leftrightarrow AA' = \sqrt 3 a\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2}.\sin {60^0} = 2{a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \)
Thể tích của khối lăng trụ là: \(V = AA'.{S_{ABC}} = \sqrt 3 a.{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}\)

 

Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có \(A'G \bot BC\) và \(AM \bot BC\) do đó \(BC \bot \left( {A'AM} \right).\)
Từ M dựng \(MH \bot AA'\) suy ra MH là đoạn vuông góc chung của BC và AA’ Suy ra \(MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Do đó \(d\left( {G;AA'} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M;\left( {AA'} \right)} \right) \ (do \ GA = \frac{2}{3}MA)\)
\(= \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = d \Rightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{G{A^2}}} + \frac{1}{{A'{G^2}}} \Rightarrow A'G = \frac{a}{3}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

 

Ta có: \(AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}} = \frac{3}{2}a;\,\,CH = AH = \frac{{3a}}{2}.\)
Thể tích lăng trụ: \(V = AH.HC.A'H = \frac{9}{8}{a^3}\sqrt 7 .\)

 

Chiều cao của lăng trụ là \(h = \cos {60^o}.b = \frac{6}{2}\)
Thể tích lăng trụ là \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{b}{2} = \frac{{a{b^2}\sqrt 3 }}{8}.\)

 

Nửa chu vi đáy: \(p = \frac{{37 + 13 + 30}}{2} = 40\).
Diện tích đáy là: \(S = \sqrt {40.(40 - 37).(40 - 13).(40 - 30)} = 180c{m^2}\)
Gọi x là độ dài chiều cao của lăng trụ.
Vì các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật nên ta có:
\({S_{xq}} = 13.x + 37.x + 30.x = 480 \Rightarrow x = 6\)
Vậy thể tích của lăng trụ là: \(V = 6.180 = 1080c{m^3}\)

 

Đáy là hình vuông có cạnh bằng 1 nên diện tích đáy: \(S = 1c{m^2}\).
Thể tích lăng trụ là: \(V = S.h = 4c{m^3}.\)

 

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Từ giả thiết A’ cách đều các đỉnh A, B, C, D ta suy ra hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ABCD là O hay A’O là đường cao của khối lăng trụ.
Trong tam giác A’OA vuông tại A và \(\widehat {A'OA} = {60^0},\) suy ra:
\(A'O = OA.\tan {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
Diện tích đáy ABCD là \({S_{ACDD}} = {a^2}.\)
Thể tích của khối lăng trụ là \(V = S.h = {S_{ABCD}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Vậy \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)

 

ABC là tam giác đều cạnh nên: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

 

Từ A kẻ AH vuông góc với BC \((H \in BC)\)
Ta có \({\rm{AA}}' \bot (ABC) \Rightarrow {\rm{AA}}' \bot BC \Rightarrow BC \bot (AA'H)\)
Khi đó \(\widehat {(A'BC);(A'B'C')} = \widehat {(A'BC);(ABC)} = \widehat {(A'H,AH)} = \widehat {A'HA}\)Suy ra \({\rm{tan}}\widehat {{\rm{A'HA}}}{\rm{ = }}\frac{{AA'}}{{AH}} = AA' = \tan {60^o}.AH\) mà \(AH = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}\)
\(\Rightarrow AA' = \frac{{6\sqrt {39} }}{{13}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{6\sqrt {39} }}{{13}}.\frac{1}{2}.2.3 = \frac{{18\sqrt {39} }}{{13}}.\)

 

\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 4a.{a^2}\sqrt 3 = 4\sqrt 3 {a^3}.\)

 

Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác đêu cạnh 14.

Diên tích mỗi tam giác là \({S_\Delta } = 49\sqrt 3 \,(c{m^2})\), suy ra diện tích đáy: \({S_1} = 294\sqrt 3\).
Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ: Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15cm, nên có diện tích là: \({S_2} = 225\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy thể tích số lượng vữa cần dùng để trát thêm là:
\(V = 17.390.\left( {225\pi - 294\sqrt 3 } \right) \approx {1,31.10^6}\,\left( {c{m^3}} \right) \approx 1,31\,\left( {{m^3}} \right)\)