Trắc nghiệm về Vị Trí Tương đối Của đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Do \(I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {t + 1;2t + 2;3t + 4} \right)\)
Thay vào phương trình (P) ta có: \(t + 1 + 4\left( {2t + 2} \right) + 9\left( {3t + 4} \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Suy ra điểm I(0;0;1)

 

\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (ABC).

 

Mặt khác (ABC) đi qua A nên có phương trình: \(\left( {ABC} \right):x + y + z - 1 = 0.\)
\(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right);\overrightarrow {CH} = \left( {x;y;z - 1} \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\ {\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0} \end{array}}\\ {H \in \left( {ABC} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x - y + 3z = 2}\\ { - x + y = - 1} \end{array}}\\ {x + y + z - 1 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{9};\frac{{ - 4}}{9};\frac{8}{9}} \right).\)

 

Gọi E là điểm đối xứng của C qua AB.
Gọi \(M = DE \cap AB,\) khi đó bạn Na đặt chốt ở vị trí M thì tổng độ dài hai sợi dây đèn led ngắn nhất.
Ta có \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MB = 3MA.\)
Mà MB+MA=AB=24, suy ra MA=6 và MB=18.

 

Phương trình mặt phẳng (Oxyz) là nên ta loại được đáp án A.
Véc tơ pháp tuyến của (Oxyz) là \(\overrightarrow u = \left( {1;0;0} \right).\)
Tọa độ tâm của mặt cầu S là \(I\left( { - 1;1; - 2} \right)\).
Gọi điểm J là điểm cần tìm có \(J\left( {0;b;c} \right).\)
\(\overrightarrow {JI} = ( - 1;1 - b; - 2 - c)\)
Do IJvuông góc với (Oxyz) nên \(\overrightarrow {JI}\) song song với \(\overrightarrow u = \left( {1;0;0} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {OI} = k.\overrightarrow u \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = k\\ 1 - b = 0\\ - 2 - c = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = - k\\ b = 1\\ c = - 2 \end{array} \right.\)
Suy ra \(b = 1;c = - 2.\) Vậy \(\left( {0;1; - 2} \right).\)

 

Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y + 2;z - 1} \right)\\ \overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 2;z + 1} \right)\\ \overrightarrow {CM} = \left( {x - 2;y + 3;z - 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\ B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\\ C{M^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow T = \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\)

 

\(= \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {y + 2} \right)}^2} - {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {z + 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\)\(= \left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + \left( {{y^2} + 14y + 17} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 1} \right)\)
\(= {\left( {x - 3} \right)^2} - 4 + {\left( {y + 7} \right)^2} - 32 + {\left( {z - 3} \right)^2} - 8 \ge - 4 - 32 - 8 = - 44.\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x = 3,{\rm{ }}y = - 7,{\rm{ }}z = 3.\)
Khi đó \(M\left( {3; - 7;3} \right) \Rightarrow P = x_M^2 + 2y_M^2 + 3z_M^2 = 134.\)

 

Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có:
\(\left( 1 \right):\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {TA} - \overrightarrow {TA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {TB} - \overrightarrow {TB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {TC} - \overrightarrow {TC'} } \right) = \overrightarrow 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {TC} = \overrightarrow {TA'} + \overrightarrow {TB'} + \overrightarrow {TC'} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Hệ thức (2) chứng tỏ: Nếu \(T \equiv G\) tức là \(\overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {TC} = \overrightarrow 0\) thì ta cũng có \(\overrightarrow {TA'} + \overrightarrow {TB'} + \overrightarrow {TC'} = \overrightarrow 0\) hay \(T \equiv G'\) hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.

 

Ta có tọa độ của G là: \(G = \left( {\frac{{3 + 0 + 0}}{3};\frac{{1 - 1 + 0}}{3};\frac{{0 + 0 - 6}}{3}} \right) = \left( {1;0; - 2} \right).\)
Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của \(\Delta A'B'C'.\)

 

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + t\\ y = 4 + 2t\\ z = 6 - 2t \end{array} \right.\)
Tọa độ tiếp điểm của (P) và(S) là giao điểm của d và (P) và là nghiệm hệ:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z + 3 = 0\\ x = 7 + t\\ y = 4 + 2t\\ z = 6 - 2t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7 + t + 8 + 4t - 12 + 4t + 3 = 0\\ x = 7 + t\\ y = 4 + 2t\\ z = 6 - 2t \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - \frac{2}{3}\\ x = \frac{{19}}{3}\\ y = \frac{8}{3}\\ z = \frac{{22}}{3} \end{array} \right.\\ \end{array}\)
Vậy tọa độ tiếp điểm là \(H\left( {\frac{{19}}{3};\frac{8}{3};\frac{{22}}{3}} \right).\)

 

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\), vtpt của (P) \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {3;1; - 1} \right)\)
Dễ thấy: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} = 0\)
Suy ra AB song song với (P) và hai điểm A, B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng (P).
Điểm \(M\in (P)\) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất:
Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB.d(M;AB)}}{2}\) nhỏ nhất hay d(M,AB) nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi: \(M \in \Delta = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) với (Q) là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P).
Suy ra vtpt của Q: \($\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( { - 1;7;4} \right)\)
PTTQ \(\left( Q \right): - 1\left( {x - 1} \right) + 7y + 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y - 4z + 7 = 0\)
Vậy quỹ tích M là \(\left\{ \begin{array}{l} x - 7y - 4z + 7 = 0\\ 3x + y - z + 5 = 0 \end{array} \right..\)

 

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z = 12.\)
Giả sử K(x,y,z), do K là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên:
\(\left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {ABC} \right)\\ KA = KB\\ KA = KC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {ABC} \right)\\ K{A^2} = K{B^2}\\ K{A^2} = K{C^2} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} \end{array} \right.\)

 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ 2x - y = 3\\ 2x - 3z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{80}}{{49}}\\ y = \frac{{13}}{{49}}\\ z = \frac{{135}}{{49}} \end{array} \right.\)

 

Vectơ pháp tuyến của (P) chính là vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow n = (1;2; - 2) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l} x = t + 2\\ y = 2t + 1\\ z = - 2t - 1 \end{array} \right.\)
Gọi M(a-2;2a-1;-2a+1).
Ta có \(OM = \sqrt{3}\) nên: \({(a + 2)^2} + {(2a + 1)^2} + {( - 2a - 1)^2} = 3 = 9{a^2} + 12a + 6 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1\\ a = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)
Suy ra M\((1;-1;1)\) hoặc \(\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)

 

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\)
M thuộc d nên tọa độ M có dạng: \(M( - 1 + 2a;1 - a;2a)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\), đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; - 1;3)\) làm VTCP nên có phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 5 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)
Gội H là hình chiếu vuông góc của M lên AB.

 

H thuộc AB nên tọa độ H có dạng \(H\left( {1 + b;5 - b;3b} \right).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = (b - 2a + 2; - b + a + 4;3b - 2a)\\ \\ \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {MH} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {MH} = 0\\ \\ \Rightarrow 2b - 4a + 4 + 2b - 4a - 8 + 18b - 12a = 0\\ \\ \Leftrightarrow - 8a + 22b - 4 = 0 \Leftrightarrow - 9a + 11b - 2 = 0 \end{array}\)
\(\Rightarrow b = \frac{{9a + 2}}{{11}} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {\frac{{24 - 13a}}{{11}};\frac{{2a + 42}}{{11}};\frac{{5a + 6}}{{11}}} \right)\)
\(\Rightarrow MH = \frac{1}{{11}}\sqrt {{{\left( {24 - 13a} \right)}^2} + {{\left( {2a + 42} \right)}^2} + {{\left( {5a + 6} \right)}^2}}\)
Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi MH ngắn nhất.
Từ tọa độ \(M( - 1 + 2a;1 - a;2a)\) và tọa độ M ở các phương án A, B, C, D ta suy ra A và thay vào (*).
Ta thấy với a=1 thì MH nhỏ nhất.

 

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3.
Gọi d là đường thẳng đi qua I(1;2;3) và vuông góc (P).
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 - 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\).
Gọi A,B lần lượt là giao của d và (S), khi đó tọa độ A, B ứng với t là nghiệm của phương trình:
\({\left( {1 + 2t - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2t - 2} \right)^2} + {\left( {3 + t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1 \end{array} \right.\)

 

Với \(t = 1 \Rightarrow A\left( {3;0;4} \right) \Rightarrow d\left( {A;(P)} \right) = \frac{{13}}{3}.\)
Với \(t = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1;4;2} \right) \Rightarrow d\left( {B;(P)} \right) = \frac{5}{3}.\)
Với mọi điểm M(a;b;c) trên (S) ta luôn có \(d\left( {B;(P)} \right) \le d\left( {M;(P)} \right) \le d\left( {A;(P)} \right).\)
Vậy khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất bằng \(\frac{13}{3}\) khi M(3;0;4).
Do đó a+b+c=7.

 

Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = - t\end{array} \right.\)
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z=0.
Gọi \(M = d \cap (Oxy)\) nên M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = - t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow M( - 1;1;0).\)
Gọi \(A(0; - 1; - 1) \in d\) và B là hình chiếu của A trên mp (Oxy) suy ra tọa độ B(0;-1;0) (hoành độ và cao độ bằng 0).
Khi đó \(B(0; - 1;0) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = ( - 1;2;0) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(\left( {BM} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = 0\end{array} \right..\)
Điểm \(I( - 1 - t;1 + 2t;0) = \left( {BM} \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow - 1 - t + 1 + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow I(1; - 3;0).\)

 

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra \(G\left( {1;0;2} \right)\)
Gọi G’ là hình chiếu của G lên (P).
Đường thẳng \(GG' \bot \left( P \right) \Rightarrow GG'\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vecto chỉ phương.\( \Rightarrow GG':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right. \Rightarrow G\left( {1 + t; - t;2 + t} \right)\)
\(G \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t - \left( { - t} \right) + 2 + t + 3 = 0 \Leftrightarrow 3t = - 6 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow G\left( { - 1;2;0} \right)\)

 

Gọi \(M \in \left( P \right)\) có \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| \ge \left| {3\overrightarrow {G'G} } \right|\)
Vậy điểm M trên (P) để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M \equiv G\left( { - 1;2;0} \right).\)

 

\(\overrightarrow {AB} \left( {3;3; - 3} \right)\) suy ra phương trình dt AB là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\)
Với \(M = AB \cap \left( P \right)\) \( \Rightarrow M \in AB \Rightarrow M\left( {1 + 3t;2 + 3t;1 - 3t} \right)\)
\(M \in \left( P \right) \Rightarrow 3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {2 + 3t} \right) + 5\left( {1 - 3t} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow M\left( {2;3;0} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} \left( {2;2; - 2} \right) \Rightarrow MB = \sqrt {12} \)
\(\overrightarrow {MA} \left( { - 1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow MA = \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = 2.\)

 

Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Mà \(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {2t - 1; - t - 2;2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 3;1 - t;2t - 1} \right)\)
VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right)\) và \(AH \bot \Delta \) nên\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)
\( \Rightarrow 2\left( {2t - 3} \right) + t - 1 + 2\left( {2t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {1; - 3;2} \right)\)

 

Do \(C \in d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1} \Rightarrow C\left( { - 1 - 2t; - t;2 + t} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( {2t;t + 3; - t - 1} \right);\overrightarrow {CB} = \left( {2t + 1;t + 2; - t - 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right] = \left( { - 3t - 7;3t - 1; - 3t - 3} \right)\)
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right]} \right| = 2\sqrt 2 \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right]} \right| = 4\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {\left( { - 3t - 7} \right)^2} + {\left( {3t - 1} \right)^2} + {\left( { - 3t - 3} \right)^2} = 32\)
\( \Leftrightarrow 27{t^2} + 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow 27{\left( {t + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow C\left( {1;1;1} \right).\)

 

Hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là điểm \(H\left( {4;0; - 2} \right).\)
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (Oxz) suy ra H là trung điểm của AA’.
Do đó ta có: \(A'\left( {4; - 1; - 2} \right).\)

 

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có \(I\left( {0;2;1} \right)\)
Vì MI là trung tuyến của MAB nên \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\)
Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P).
Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(M = d \cap \left( P \right)\). Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P) ta có: \(t = \frac{4}{3}\)
Vậy tọa độ \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

 

Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {6;3; - 2} \right)\).
Gọi d là đường thẳng đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \) làmVTCP.
Phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 6t}\\{y = 5 + 3t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
Khi đó \(H = d \cap \left( P \right)\).
Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P), ta có: \(6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Khi đó: \(H\left( { - 4;2;3} \right)\)