Trắc nghiệm về Vị Trí Tương đối Của đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0; - 3} \right) \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(\left( {AB} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + 3t}\\{y = 3}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) qua C và vuông góc AB là \(x + z - 1 = 0\)
Gọi \(M = \left( P \right) \cap AB \Rightarrow M\left( {5 + 3t;3; - 1 + 3t} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 5 + 3t - 1 + 3t - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};3; - \frac{5}{2}} \right)\)
Gọi \(M \in \left( {AB} \right)\) sao cho \(CM \bot AB \Rightarrow M\left( {5 - 3t;3; - 1 - 3t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \left( {4 - 3t;1; - 1 - 3t} \right)\)
Mà M là trung điểm của CD\( \Rightarrow \) \(D\left( {6;4; - 5} \right).\)

 

Mặt phẳng (P) có VTPT là: \(\overrightarrow n = \left( {0;1; - 1} \right).\)
Đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1; - 1} \right)\) làm VTCP.
Vậy phương trình tham số của AB là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Gọi M là trung điểm của AB \( \Rightarrow M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( {1;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow B\left( {1;1;2} \right)\)

 

Gọi \(A = d \cap \left( \gamma \right).\)
Tọa độ A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{z}{2}\\2{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2(x - 3) = y - 4\\2(y - 4) = 2z\\2{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;2; - 2} \right)\)

 

Chọn \(a = 1\) suy ra \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {1;1;0} \right) \Rightarrow \) Phương trình mp (ABC) là \(x + y + z - 2 = 0\)
Giao điểm \(M = \left( {ABC} \right) \cap Ox \Rightarrow M\left( {2;0;0} \right)\),
Tương tự \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N\left( {0;2;0} \right)}\\{P\left( {0;0;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow {V_{O.MNP}} = \frac{1}{6}.OM.ON.OP = \frac{4}{3}\)
Vậy thể tích tứ diện OMNP là \({V_{O.MNP}} = \frac{{4{a^3}}}{3}.\)

 

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\) nên phương trình đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\)
Vì \(S = \left( P \right) \cap AB\) nên tọa độ S là nghiệm hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - t\\z = - 1 - 2t\\x + y + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 3\\y = 4\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow S(3;4;1)\)
\(SA = \sqrt 6 ;SB = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 ;\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{1}{2}.\)

 

Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\\2x - y + 3z + 13 = 0\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = - 3\end{array} \right.\)

 

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) được viết lại là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)
Điểm \(M \in \Delta \Rightarrow M\left( {1 - t; - 2 + t;2t} \right)\)
\(M{A^2} = {t^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2};M{B^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} + {\left( {4 - 2t} \right)^2}\)
\(M{A^2} + M{B^2} = 28 \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} + 02 - 2{t^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} + {\left( {4 - 2t} \right)^2} = 28\)
\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( { - 1;0;4} \right)\)

 

Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (1; - 2;1)\\\overrightarrow {AC} = \left( {2;3; - 5} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {7;7;7} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1;1;1) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm VTPT nên có phương trình: \(x + y + z - 3 = 0.\)
\(M \in Ox \Rightarrow M(t;0;0)\). \(M \in (ABC) \Rightarrow t = 3\)
Vậy tọa độ \(M(3;0;0)\).

 

Ta có M thuộc tia Oz\( \Rightarrow M\left( {0;0;t} \right){\rm{ }}\left( {t \ge 0} \right)\)
\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {t + 6} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 > 0\\t = - 15 < 0\,(loai)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow t = 3\) Vậy \(M\left( {0;0;3} \right).\)

 

Hình chiếu của \(M\left( {1;2;3} \right)\) lên Ox là \(\left( {1;0;0} \right)\) (tung độ y và cao độ z bằng 0).

 

Hình chiếu của M lên Oy là: H(0;-1;0) (tung độ với cao độ bằng 0).
H là trung điểm của MM’, nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2}\\{z_H} = \frac{{{z_M} + {z_{M'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = - 2\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = - 1\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 3\end{array} \right.\)

 

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\)
Gọi M là giao điểm của d và (ABC).
M(-a;2+a;3+a). Thay vào ta có: \(\frac{{ - a}}{1} + \frac{{a + 2}}{2} + \frac{{a + 3}}{3} = 1 \Rightarrow a = 6\)
Cao độ của điểm M là: 6+3=9.

 

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2;3;1} \right).\)
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;1)
Đường thẳng d đi qua điểm I(1;-2;1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2;3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
M là giao điểm của d và (P) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t\\ 2{\rm{x}} + 3y + z - 11 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t\\ 2\left( {1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 11 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 1\\ z = 2\\ t = 1 \end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( {3;1;2} \right).\)

 

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Suy ra phương trình d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = 2 + t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P) thì H là giao điểm của d và (P).
H thuộc d suy ra: \(H\left( {3 + t;2 + t; - 1 + t} \right)\)
Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \(3 + t + 2 + t + 1 + t = 0 \Leftrightarrow 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.\)
Vậy: \(H\left( {1;0;1} \right).\)

 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta\) Suy ra: \(H\left( {2t - 1; - t - 2;2t} \right),\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = \left( {2t - 3; - t + 1;2t - 1} \right)\\ MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ \Leftrightarrow 2(2t - 3) - ( - t + 1) + 2(2t - 1) = 0\\ \Leftrightarrow 4t - 6 + t - 1 + 4t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow H(1; - 3;2) \Rightarrow M'(0; - 3;3). \end{array}\)

 

C là trọng tâm của tam giác ABD thì
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right) + {x_D}}}{3} = 2\\ {y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{ - 2 + 1 + {y_D}}}{3} = - 1\\ {z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_D}}}{3} = \frac{{3 + 3 + {z_D}}}{3} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 7\\ {y_D} = - 2\\ {z_D} = 3 \end{array} \right.\)

 

\(M \in 0x \Rightarrow M(a;0;0)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA} = (1 - a;1;1);\,\overrightarrow {MB} = (2 - a;1; - 1);\,\overrightarrow {MC} = \left( { - a;4;6} \right)\\ \Rightarrow P = \sqrt {{{\left( {3 - 3a} \right)}^2} + {6^2} + {6^2}} = 3\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 8} \ge 6\sqrt 2 \end{array}\)
P nhỏ nhất khi a=1.
Vậy tọa độ M là: M(1;0;0).

 

Các điểm nằm trên mặt trụ có khoảng cách đến đường thẳng AB (Đường cao của hình trụ) luôn bằng một số thực dương d không đổi. Trong đó d là bán kính mặt đáy của hình trụ.

 

Khối trụ có bán kính đáy bàng 1cm và chiều cao bằng 2cm nên có thể tích \(V = \pi {R^2}h = 2\pi \,\,c{m^3}\)

 

Thiết diện chính là hình chữ nhật ABCD.
Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.BC = 2R.R\sqrt 2 = 2{R^2}\sqrt 2\)