Hỏi/Đáp SỐ PHỨC

Đặt \(z = a + bi\left( {b \ne 0} \right) \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \Rightarrow \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {1 + {a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a + {a^3} - a{b^2} - 2{a^2}bi + bi + {a^2}bi - {b^3}i + 2a{b^2}i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{(a + {a^3} + a{b^2}) + ( - {a^2}b + b - {b^3})i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}} \in \mathbb{R}\end{array}\)
Hay: \(b - {b^3} - {a^2}b = 0 \Leftrightarrow b(1 - {b^2} - {a^2}) = 0 \Leftrightarrow 1 - {b^2} - {a^2} = 0\) (Do \(b \ne 0\) )
Vậy \({a^2} + {b^2} = 1.\)
Vậy: \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\)

 

Ta có: \(A\left( {3;2} \right),B\left( {3; - 2} \right),C\left( { - 3; - 2} \right)\), suy ra:
B và C đối xứng nhau qua trục tung
Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\)
A và B đối xứng nhau qua trục hoành
A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} \)

 

Trọng tâm của tam giác ABC là \(G\left( { - 3;\frac{4}{3}} \right)\)
Vậy G biểu diễn số phức \(z = - 3 + \frac{4}{3}i.\)

 

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của z.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\\bar z - 3 + 4i = x - iy - 3 + 4i = \left( {x - 3} \right)\left( { - y + 4} \right)i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( { - y + 4} \right)}^2}} \)
Vậy \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( { - y + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 6x + 8y - 25 = 0.\)

 

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4 \Rightarrow \left| {x + yi - 3 + 5i} \right| = 4\)
\( \Rightarrow \left| {(x - 3) + (y + 5)i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 5)^2} = {4^2}\)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 4.\)
Khi đó: \(C = 2\pi R = 8\pi .\)